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A contribution to the metric theory of Diophantine approximations. (Zur metrischen Theorie der diophantischen Approximationen. Przyczynek do metrycznej teorji przyblizeń diofantowych.) (Polish) JFM 55.0718.01
Verf. knüpft an an einen Satz von Khintchine (Math. Ann. 92 (1924), 115- 125; F. d. M. 50, 125 (JFM 50.0125.*)), der Folgendes besagt:
\(f(x)\) sei für \(x > 0\) stetig und positiv, \(x^2\cdot f(x)\) für \(x > 0\) abnehmend. Wenn eine Zahl \(\varTheta \) aus dem Intervall \(0\leqq \varTheta \leqq 1\) in der Gleichung \[ \biggl|\,\varTheta -\frac{a}{b}\,\biggr|<f(b) \] unendlich viele ganzzahlige Lösungen zuläßt, so sage man, \(\varTheta \) gestatte (oder realisiere) die Approximation \(f(x)\). Nach Khintchine ist das Lebesguesche Maß der Menge der \(\varTheta \) aus \(0\leqq \varTheta \leqq 1\), die die Approximation \(f (x)\) gestatten, gleich 0, wenn \[ \displaylines{\rlap{\qquad(*)} \hfill \textstyle \int\limits^{+\infty } \displaystyle xf(x)\,dx \hfill} \] konvergiert, und gleich 1, wenn das Integral (*) divergiert.
Aus diesem Satz folgt nun, daß mit \(\alpha >2\) die Menge \(P_\alpha \) der \(\varTheta \) aus \(0\leqq \varTheta \leqq 1\), die die Approximation \[ f(x)=x^{-\alpha } \] gestatten, vom Lebesgueschen Maß 0 ist; über die Mengen \(P_\alpha \) lassen sich aber unterscheidende Aussagen in der Richtung des Hausdorffschen Maßbegriffs (vgl. F. Hausdorff, Math. Ann. 79 (1919), 157-179; F. d. M. 46, 292 (JFM 46.0292.*)) machen (der Hausdorffsche Maßbegriff wird im ersten Paragraphen der referierten Arbeit definiert, ohne daß etwas aus der zitierten Hausdorffschen Arbeit vorausgesetzt wird). Für irgendeine Menge \(E\) von reellen Zahlen sei unter dim \(E\) die Hausdorffsche Dimension verstanden. Verf. kündigt zunächst folgenden Satz an: Für \(\alpha >2\) ist \[ \dim\;P_\alpha =\frac{2}{\alpha }. \]
Verf. betrachtet sodann den Fall, daß die Approximation \(f(x)\) von allen \(\varTheta \) aus \(O\leqq \varTheta \leqq 1\) mit Ausnahme einer Menge vom Lebesgueschen Maße Null realisiert wird; er untersucht insbesondere \[ \displaylines{\rlap{\qquad(**)} \hfill f(x)=\frac{1}{x^2\,\text{Max}\,(1,\log^\alpha x)} \hfill} \] mit \(0<\alpha \leqq 1\).
\(Q_\alpha \) sei die Menge der \(\varTheta \) aus \(0\leqq \varTheta \leqq 1\), die die Approximation (**) nicht gestatten, die nach dem Gesagten vom Lebesgueschen Maß Null ist; für ihre Hausdorffsche Dimension beweist Verf.: \[ \displaylines{\rlap{\qquad I.} \hfill \dim\;Q_\alpha =1\;\;(\text{für}\;0<\alpha \leqq 1). \hfill} \]
Wegen des sich leicht ergebenden Zusammenhanges mit der Kettenbruchentwicklung der fraglichen Irrationalitäten \(\varTheta \) betrachtet Verf. ferner folgende Mengen:
Mit ganzem \(\alpha \geqq 2\) (\(\alpha =1\) ist trivial) sei \(M_\alpha \) die Menge der irrationalen \(\varTheta \) aus \(0 < \varTheta < 1\), in deren Kettenbruchentwicklung die Teilnenner \(\leqq \alpha \) sind. \(M_\infty \) sei die Menge der \(\varTheta \) aus \(0\leqq \varTheta \leqq 1\), für die zu jedem \(\varTheta \) ein \(c=c(\varTheta )>0\) existiert, derart, daß für alle ganzen \(p\), \(q\) mit \(q > 0\) \[ \biggl|\,\varTheta -\frac{p}{q}\,\biggr|>\frac{c}{q^2} \] gilt.
Verf. beweist:
II.   \(\dim M_\infty =1\),
III.   \(\dim M_2=\tfrac{1}{4}\),
IV.    \(1-\dfrac{4}{\alpha \,\log\,2}\leqq \dim M_\alpha \leqq 1 -\dfrac{1}{8\alpha \,\log\,\alpha }\) für ganzes \(\alpha > 8\).
II – und also a fortiori I – folgt unmittelbar aus III und IV. III und IV werden direkt durch Untersuchung der Überdeckungssysteme der fraglichen Mengen bewiesen.

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