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The minimum value of quadratic forms, and the closest packing of spheres. (English) JFM 55.0721.01
Verf. geht aus von der Frage nach dem Minimum einer positiv-definiten quadratischen Form mit gegebener Determinante $D$ in $n$ Veränderlichen, das bekanntlich $\leqq \gamma _nD^{\tfrac{1}{n}}$ mit nur von $n$ abhängendem $\gamma _n$ ist. Verf. erhielt als obere Grenze für $\gamma _n$ den Ausdruck $$\frac{2}{\pi }\biggl[\varGamma \biggl( 1+\frac{n+2}{2}\biggr)\biggr]^{\tfrac{2}{n}}$$ (Bulletin A. M. S. 25 (1919), 449-453; F. d. M. 47, 893 (JFM 47.0893.*)-894). Das genauere Studium von $\gamma _n$, insbesondere die Frage nach den Formen, für die $\gamma _n$ den kleinsten möglichen Wert hat, hängt eng mit der Untersuchung der dichtesten Lagerung von Kugeln in einem passend großen Würfel zusammen. Verf. beschäftigt sich insbesondere mit der Untersuchung der Zahl $\varrho _1$ für die bei beliebiger Lagerung von Kugeln mit gleichem Radius in einem Würfel das Verhältnis $\varrho _2$ des von den Kugeln eingenommenen Volumens zum Volumen des Würfels kleiner als $\varrho _1$ ist, so daß $$\gamma _n<\frac{4}{\pi }\;\biggl[\varrho _1\varGamma \biggl(1+\frac{n}{2}\biggr)\biggr]^{\tfrac{2}{n}}$$ gilt. Er erhält durch elementargeometrische Betrachtungen folgende Ergebnisse: Betrachtet man $k$ Kugeln vom Radius 1 in einem Würfel von der Kantenlänge $E$, so ist $$\varrho _1=\frac{n+2}{2^{\tfrac{n+2}{2}}}\biggl(1+\frac{2\sqrt{2}-2}{E}\biggr)^n.$$ Man betrachtet nun ”physikalische” Kugeln vom Radius $\sqrt{2}$, deren Massendichte im Abstand $r$ vom Mittelpunkt im Intervall $1\leqq r\leqq \sqrt{2}$ durch $2-r^2$, im Intervall $2-\sqrt{2}\leqq r\leqq 1$ durch $(2 - r)^2$, im Intervall $0\leqq r\leqq 2-\sqrt{2}$ durch 2 gegeben sei. Mit $$K=\frac{\pi ^{\tfrac{n}{2}}}{\varGamma \biggl(1+\dfrac{n}{2}\biggr)}$$ und $$\frac{4kK}{n+2}\biggl\{2^{\tfrac{n}{2}}+\frac{1}{n+1} (2-\sqrt{2})^{n+1}\biggl(\frac{\sqrt{2}}{2}+\frac{1}{n+1}\biggr)\biggr\} =\frac{4kK2^{\tfrac{n}{2}}}{n+2}(1+g)$$ ist dann $$\varrho _1=\frac{n+2}{2^{\tfrac{n+2}{2}}(1+g)}$$ und folglich $$\gamma _n<\frac{2}{\pi }\raise4pt\hbox{$\Biggl[$}\frac{\varGamma \biggl( 1+\dfrac{n+2}{2}\biggr)}{1+g}\raise4pt\hbox{$\Biggr]$}^{\tfrac{2}{n}}.$$ In einer Schlußbemerkung vergleicht Verf. sein Ergebnis numerisch mit der “shotpile” Anordnung von Kreisen, die im ebenen Fall die dichteste Lagerung liefert.
Reviewer: Müller, Studienassessor K. (Fürstenwalde)

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Full Text: DOI Link EuDML
References:
[1] See ?Bulletin of the American Mathematical Society?25 (1919), pp. 449-453, for references; as well as L. E. Dickson, ?History of the Theory of Numbers?3, pp. 234-252. ? See also article by Remak, ?Mathematische Zeitschrift?26 (1927), pp. 694-699.