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Über die Darstellung der Zahlen durch die binären kubischen Formen von negativer Diskriminante. (German) JFM 55.0722.02
Die Arbeit knüpft an an den vom Verf. entdeckten Satz, daß die Anzahl der Darstellungen der Zahl 1 durch eine binäre kubische Form von negativer Diskriminante höchstens gleich fünf ist, wobei das Gleichheitszeichen in der Tat erreicht wird. (Man kann die Frage nach den Darstellungen beliebiger Zahlen stets auf die nach den Darstellungen der Zahl 1 reduzieren.)
Im Rahmen des Beweises dieses Satzes ergibt sich ein Verfahren, das auch die weitergehende Aufgabe, eine Methode zur Konstruktion der Darstellungen bzw. zur Feststellung ihrer Nichtexistenz anzugeben, im einzelnen zu lösen gestattet, wenngleich der Nachweis, daß die Methode stets zum Ziel führt, nicht erbracht werden kann. (Frühere Veröffentlichungen des Verf. in dieser Richtung: C. R. 171 (1920), 336-338; 172 (1921), 434-436; Leningrad, Journ. Soc. Phys.-Math. 1 (1927), 257-267; F. d. M. 47, 119 (JFM 47.0119.*); 48, 1156; 53, 131; ferner in russischer Sprache: Bull. Ac. Soc. 16 (1922 [1924]), 253-272.)
Der Gedankengang der Arbeit ist folgender:
Nach Lagrange genügt es, eine gewisse Anzahl von Gleichungen der Form \[ (A, B, C, E) = AX^3 + BX^2Y + CXY^2 + EY^3= 1 \] zu studieren; ferner kann man die zugehörigen Formen durch äquivalente Formen (\(q\), \(-p\), \(n\), 1), die sogenannten ganzen Formen, also die Gleichungen durch solche von der Gestalt \[ qX^3-pX^2Y+nXY^2+Y^3=1 \] ersetzen. Formal ergibt sich ferner, daß das Problem äquivalent ist der Untersuchung der Einheiten \(\varepsilon \) des Ringes \[ O\,(\varrho )=[\varrho ^2,\varrho,1] \] von der Form \[ \varepsilon =X\varrho +Y \] mit der Norm \(+1\), die als positive “binome” Einheiten bezeichnet werden. Die Einheiten ergeben sich aus einer Fundamentaleinheit \(\varepsilon _0\) und ihrer Inversen in bekannter Weise durch Potenzproduktbildung. Ist \[ 0<\varepsilon _0<1\;\text{und}\;\eta_0=\varepsilon _0^{-1}>1, \] so heißt \(\varepsilon _0\) direkt und \(\eta_0\) invers. Mit \[ \varepsilon _0=a\varrho ^2+b\varrho +c\;\text{und}\;\eta_0=a'\varrho ^2+b'\varrho +c' \] ist also das Problem der Darstellungsanzahl äquivalent der Frage nach den natürlichen Zahlen \(m\), für die die Potenz \[ (a\varrho ^2+b\varrho +c)^m\;\text{oder}\;(a'\varrho ^2+b'\varrho +c')^m \] binom ist.
Verf. gibt eine mittels der Voronoischen Methode berechnete Tabelle für die Fundamentaleinheiten der kubischen Ringe mit negativen Diskriminanten, die absolut \(\leqq 368\) sind, und ihre Relativindices. Eine geometrische Betrachtung lehrt dann, daß es nur endlich viele zulässige Potenzen der Inversen Einheit gibt, die man auch konstruieren kann. Etwas Analoges läßt sich dagegen für die direkten Lösungen auf geometrischem Wege nicht durchführen. Es wird dann ein einfaches Umformungsgesetz zwischen den zu den Lösungen zweier äquivalenter Formen gehörigen Einheiten hergeleitet, auf Grund dessen man von jeder ganzen Form aus zu einer äquivalenten Form gelangen kann, die keine inversen Lösungen hat. Dann wird durch Teilbarkeitsbetrachtungen in der Binomialentwicklung der zugehörigen Potenzen gezeigt, daß keine Potenz einer binomen Einheit, bei der der Absolutbetrag des Koeffizienten von \(\varrho \) von 1 verschieden ist, binome Einheit sein kann (im Ausnahmefall ist dies jedoch möglich).
In den folgenden Paragraphen wird ein Verfahren zur Anwendung gebracht, der “Algorithmus der Erhöhung”, in dem man, auf Grund von Teilbarkeitsbetrachtungen über die Quotienten der Differenz der Fundamentaleinheiten und der ringerzeugenden Zahlen für die Konjugierten von \(\varrho \), vom zugrunde gelegten Ring sukzessiv in einen vielfachen Ring übergeht, bis der fragliche Quotient eine rationale oder algebraische Einheit wird. Es sind dann drei Fälle zu unterscheiden:
1. An keiner Stelle des Prozesses wird der fragliche Quotient eine Einheit: Dann gibt es keine nicht trivialen Lösungen.
2. Der Quotient wird an einer Stelle \(\pm1\).
3. Der Quotient wird an einer Stelle eine algebraische Einheit.
Im zweiten und dritten Fall läßt sich die Fragestellung auf die Frage nach den Lösungen einer reversiblen Form, d. h. einer solchen, bei der die beiden äußeren Koeffizienten den Wert 1 haben, zurückführen. Dann wird gezeigt, daß der ursprüngliche unter den soeben betrachteten Quotienten in keinem der durch den Prozeß der Erhöhung gewonnenen vielfachen Ringe eine algebraische Einheit sein kann.
Insgesamt ergibt sich so insbesondere, daß eine Gleichung von der betrachteten Gestalt nur dann mehr als eine nicht triviale Lösung haben kann, wenn die zugehörige ganze Form einer reversiblen Form äquivalent ist, und daß sich auf Grund der Untersuchung der Fundamentaleinheit \(\varepsilon _0\) entscheiden läßt, ob dies der Fall ist. Nun werden die reversiblen Formen eingehend untersucht; es zeigt sich, daß man – abgesehen von Ausnahmefällen, die insbesondere durch Untersuchung der Formen (1, 1, 0, 1) und (1, 0, \(-1\), 1) direkt studiert werden, – stets die Fragestellung auf die Betrachtung von “vielfachen” Gleichungen zurückführen kann, bei denen nur die ersten beiden Fälle des Algorithmus der Erhöhung auftreten können, in denen es keine bzw. genau eine nicht triviale Lösung gibt.
Vermittels der geschilderten Untersuchungen gelangt der Verf. zu folgendem Fundamentaltheorem :
“Die unbestimmte Gleichung \((A, E, C, E) = 1\) hat im Falle einer negativen Diskriminante im allgemeinen nicht mehr als zwei Lösungen; wenn aber die Form einer reversiblen Form äquivalent ist, so können drei oder vier Lösungen auftreten, und endlich ist eine und nur eine solche Gleichung vorhanden (wenn man die ihr äquivalenten nicht mitzählt), welche fünf Lösungen hat; keine solche Gleichung kann mehr als fünf Lösungen haben.”
Schließlich wird die wichtige Gleichung
\(U^3-V^2=\varkappa\) (\(\varkappa < 0\) fest und ganz)
untersucht, und die Anzahl ihrer Lösungen in ganzen \(U\) und \(V\) wird abgeschätzt. Die sich ergebende Schranke hängt von der Klassenanzahl der binären kubischen Formen der Diskriminante 108 \(\varkappa \) ab, sowie von der Anzahl der Darstellungen der Zahl 1 durch derartige Formen, die sich nach dem Vorhergehenden nach oben (sogar unabhängig von der Diskriminante) durch eine Konstante ersetzen läßt.
In einem Anhang gibt Verf. einige auf Grund der vorhergehenden Untersuchungen berechnete Tabellen:
1. Eine Tabelle der Formenklassen bzw. der Ringe bis zum Diskriminantenbetrag 620. Es sind die Koeffizienten der kubischen Gleichung für \(\varrho \) angegeben, wenn es eine Potenzbasis 1, \(\varrho ^2\), \(\varrho \) gibt; sonst ist eine Indexform des Ringes angegeben.
2. Eine Tabelle der Lösungen der Gleichungen \[ (A,B,C,E) = 1, \] die zu Repräsentantenformen aller Klassen irreduzibler binärer kubischer Formen mit \(|\,D\,|\leqq 300\) und \(D < 0\) gehören. Es sind die zu den Diskriminanten gehörigen kubischen Gleichungen, die direkte positive Fundamentaleinheit des zugehörigen Ringes sowie alle binomen Potenzen derselben angegeben.
3. Eine Tabelle aller ganzen kubischen Gleichungen negativer Diskriminante bis zum Diskriminantenbetrag 172; und zwar sind alle Repräsentanten von einander parallelen derartigen Gleichungen angegeben, d. h. von solchen, deren Wurzeln sich nur um eine ganze rationale additive Zahl unterscheiden.
4. Eine Tabelle aller Lösungen von \[ U^3-V^2=\varkappa \] für \(-1\leqq \varkappa \leqq -6\).

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