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Teoria generale del cambiamento di variabili negli integrali doppi. (Italian) JFM 55.0742.01
Die Theorie der Einführung einer neuen Veränderlichen bei einem einfachen Integral ist bekannt; die Resultate sind von de la Vallèe Poussin gegeben worden. Einige spezielle Probleme gaben Anlaß, die Theorie für besondere Zwecke auf Doppelintegrale zu erweitern, jedoch wurden nur solche Sätze aufgestellt, die gerade für ein bestimmtes Problem gebraucht wurden. Derartige Untersuchungen sind von de la Vallée Poussin, Lebesgue, W. H. Young u. a. angestellt worden. Aber es fehlte bisher eine vollständige Übertragung der Theorie für das einfache Integral auf mehrfache Integrale und der Zusammenschluß der Einzelergebnisse unter einen gemeinsamen Gesichtspunkt. Verf. behandelt diese allgemeine Theorie für Doppelintegrale, findet Resultate, die den von de la Vallée Poussin für einfache Integrale angegebenen analog sind, und zeigt, daß die Theorie ohne weiteres auf beliebig viele Dimensionen übertragen werden kann.
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References:
[1] Int?grale, longueur, aire, Annali di Matematica 1902, Ch. IV.
[2] Sur l’int?grale de Lebesgue, Trans. Am. Math. Soc. 1915, p. 13. V. anche Rademacher, Eineindeutige Abbildungen und Me?barkeit, Monatshefte f?r Math. u. Phys. 27.
[3] W. H. Young: On the area of surfaces, Proc. Roy. Soc., A.96; On a formula for an area, Integration over the area of a curve etc., Proc. London Math. Soc. (2)18, 21. ? Burkill: Functions of intervals, The expression of area as an integral, Proc. London Math. Soc. (2)22. ? Banach: Sur les lignes rectifiables etc., Fund. Math.7.?Vitali: Sulle funzioni continue, Fund. Math. 8.
[4] V. n. 6.
[5] A questo proposito va menzionata la trattazione elementare di Picone (Lezioni di Analisis infinitesimale I, Circolo matematico di Catania 1923, n. 130) in cui sono inclusi risultati praticamente di alta generalit?.
[6] Sulla quadratura delle superficie piane e curve, Sul carattere infinitesimale delle superficie quadrabili, Sulla definizione dell’ area di una superficie, Rend. Acc Lincei, 12 agosto 1927, 20 maggio e 1? giugno 1928.?Sulle’ coppie di funz?oni a variazione limitata, Rend. Acc. Napoli, Aprile 1928.
[7] V. la memoria: Sull’ integrazione delle funzioni discontinue, Rend. Circ. Mat. Palermo 52.
[8] Loc. cit. V. la memoria: Sull’ integrazione delle funzioni discontinue, Rend. Circ. Mat. Palermo 52. ? 7.
[9] Per gli integrali tripli, non conosco su questo argomento che i risultati elementari, ma praticamente generalissimi, di Picone (loc. cit. Sulla quadratura delle superficie piane e curve, Sul carattere infinitesimale delle superficie quadrabili, Sulla definizione dell’area di una superficie, Rend. Acc Lincei, 12 agosto 1927, 20 maggio e 1? giugno 1928.?Sulle coppie di funz?oni a variazione limitata, Rend. Acc. Napoli, Aprile 1928. n. 140).
[10] Ordine diP rispetto aC. Cfr. Tannery, Introduction ? la th?orie des fonctions d’une variable, II.
[11] Cfr. F. Riesz, Sur les suites de fonctions mesurables, Comptes Rendus148.
[12] Cio? avente per caratteristica una funzione di Baire.
[13] Supponiamo p. es. cheC sia una curva semplice di Jordan avente misura non nulla, e che le (1) stabiliscano una corrispondenza biunivoca fra i domini limitati daC e daC?: l’insieme pseudo-corrispondente dell’insiemeI? interno aC? sar? quellointerno aC. Supponiamo invece che le (1) transformino un cerchio interno aC? in un cerchio ? racchiudenteC, e la rimanente porzione diC? in quella di ? esterna aC: pseudo-corrispondente diI? sar? allora ildominio limitato daC. La variazione di (?, ?) sar? (a meno del segno) nel primo caso l’areainterna, nel secondo l’areaesterna limitata daC.
[14] Si potr? ricorrere p. es. a due sistemi di rette parallele; tenendo presente che non pu? aversi pi? che un’infinit? numerabile di rette ? di assegnata direzione, per cui siaV(??I)>0.
[15] La validit? della formola di transformazione sotto la sola condizione della sommabilit? dif(x, y) ? dovuta in questo caso al fatto che la coppia (x, y), come nel precedente, ? monotona, cio?, a derivata di segno costante. ? noto che circostanze analoghe si presentano per gli integrali semplici.
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