Sur les fonctions conjuguées. (French) JFM 55.0751.02

Zygmund, A.

Fundamenta 13, 284-303 (1929).

Es sei \(f (x)\) eine \(L\)-integrierbare Funktion der Periode \(2\pi\), \[ \mathfrak S(f) = \frac {a_0}2 + \sum_{n=1}^\infty (a_n \cos nx + b_n \sin nx) \] ihre Fourierreihe und \[ \overline{\mathfrak S} (f) = \sum_{n=1}^\infty (a_n \sin nx b_n \cos nx) \] die zugehörige konjugierte Reihe. Bekanntlich ist \(\overline{\mathfrak S}(f)\) fast überall \(C_1\)-summierbar zu einer Funktion \(\bar f(x)\), die aber keineswegs \(L\)-integrierbar zu sein braucht.
Bewiesen wird der folgende interessante Satz:
Ist \[ \int\limits_0^{2\pi} |f|\, \overset {+} {\log}\, |f| \, dx < \infty, \tag{1} \] so ist \(\bar{f} (x)\) \(L\)-integrierbar und \(\overline{\mathfrak S}(f)={\mathfrak S} (\bar{f}).\)
Die Bedingung (1) ist auch notwendig für die Integrierbarkeit von \(\bar{f} (x)\), insofern als man zu einer vorgegebenen positiven beschränkten Funktion \(\varepsilon (x), \varepsilon (x) \to 0\) für \(x \to \infty\), ein \(f (x)\) konstruieren kann, für das \[ \int\limits_0^{2\pi} |f|\, \overset {+} {\log}\, |f| \, \varepsilon (|f|)\, dx < \infty, \tag{2} \] ist, ohne daß \(\bar{f} (x)\) integrierbar ist.
Es wird ferner der folgende Satz über die integrierte Fourierreihe bewiesen:
Ist \(F (x)\) absolut stetig von der Periode \(2\pi\), und gilt für \(f (x) = F^\prime(x)\) die Ungleichung (1), so ist die Reihe \(\mathfrak S(F)\) absolut konvergent.
Die angegebene Bedingung ist wieder im obigen Sinne für die absolute Konvergenz von \(\mathfrak S(F)\) auch notwendig.
Endlich folgt aus (1) die Relation \[ \int\limits_0^{2\pi} |f(x) - s_n (x)|\, dx \to 0, \quad n \to \infty, \tag{3} \] wobei \(s_n (x)\) den \(n\)-ten Abschnitt von \(\mathfrak S(f)\) bezeichnet.

Reviewer: Rogosinski, Prof. W. (Königsberg i. Pr.)

JFM Section:

Zweiter Halbband. Vierter Abschnitt. Analysis. Kapitel 3. Allgemeine Theorie der reellen Funktionen. D. Trigonometrische Reihen und Verwandtes.