×

Sur l’approximation des fonctions presque-périodiques généralisées. (French) JFM 55.0758.02

Verf. nennt eine für \(-\infty < x < \infty \) meßbare Funktion asymptotisch fastperiodisch, wenn es zu gegebenem \(\varepsilon > 0\) zwei Zahlen \(l (\varepsilon)\) und \(T_0 (\varepsilon)\) derart gibt, daß in jedem Intervall der Länge \(l\) eine Verschiebungszahl \(\tau\) liegt, für welche \[ | f (z + \tau )-f(x)|< \varepsilon \] ausfällt für alle \(x\) mit Ausnahme einer Menge \(E\), deren mittlere Dichte \(\dfrac {\text{Maß} \, E(T)}{T} \) in jedem Intervall \(T \geqq T_0\) kleiner als \(\varepsilon\) ausfällt ( \(E (T) =\) Durchschnitt \((E, T)\) ). Summe, Differenz und Produkt sind wieder asymptotisch fastperiodisch.
Aus der Definition folgt unschwer: Jede nach Weyl (Math. Ann. 97 (1926), 338-356; F. d. M. 52) und Franklin (M. Z. 29 (1928), 70-86; F. d. M. 54, 293 (JFM 54.0293.*)) fastperiodische Funktion ist auch asymptotisch fastperiodisch. Soll umgekehrt eine asymptotisch fastperiodische Funktion nach Weyl bzw. Franklin fastperiodisch sein, so ist hinreichend, daß \((f (x))^2\) bzw. \(f (x)\) gleichmäßig summierbar ist. Allgemeiner ist notwendig und hinreichend dafür: Zu jedem \(\varepsilon > 0\) gibt es ein \(T_0(\varepsilon)\) derart, daß \[ \frac 1T \int\limits_{E(a, a+T)} [f (x )]^{\varrho} \, dx < \varepsilon \] wird für \[ \frac {\text{Maß} \, E(a, a+T)}{T} < \varepsilon \quad \text{und} \quad T> T_0; \] dabei ist \(\varrho = 2\) für die Weylsche, \(\varrho = 1\) für die Franklinsche Definition.
Weiter wird gezeigt, daß zu jedem \( \varepsilon > 0\) und \(\eta_0 > 0\) stets eine Fastperiode \(\eta\) mit \(|\eta | < \eta_0\) existiert.
Schließlich gilt der Hauptsatz: Notwendig und hinreichend dafür, daß \(f (x) \) asymptotisch fastperiodisch sei, ist: Zu \( \varepsilon > 0\) gibt es eine Summe \[ P_n (x) = \sum_{\varkappa =1}^n C_{n\varkappa} e^{-\lambda_{n\varkappa} i x} \] und ein \(T_0 (\varepsilon)\) derart, daß \[ | f(x)-P_n(x)| < \varepsilon \tag{1} \] ausfällt für alle \(x\) mit Ausnahme einer Menge, deren mittlere Dichte kleiner als \(\varepsilon\) ist in jedem Intervall von größerer Länge als \(T_0\).
Der Beweis wird dadurch erbracht, daß \(f (x)\) durch die Funktion \[ f_M (x) = \left\{ \begin{matrix} \l & \quad \l \\ f(x), & \text{wenn } \;| f (x) | \leqq M, \\ \dfrac {f(x)}{|f(x)|}M, & \text{wenn } \;| f (x) | > M, \end{matrix} \right. \] ersetzt wird. Diese kann nach Weyl durch \(P_n (x)\) im Mittel approximiert werden, woraus für \(f_M\) eine Relation der Art (1) gefolgert wird. Für hinreichend großes \(M\) hat die Menge, in der \(f\) von \(f_ M\) verschieden ist, genügend kleines Maß.

Citations:

JFM 54.0293.*
PDF BibTeX XML Cite