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Über beschränkte analytische Funktionen. (German) JFM 55.0768.03
Verf. nimmt hier einen von ihm und anderen schon wiederholt behandelten Problemkreis wieder auf; es handelt sich um die Bestimmung einer in \(| z | < 1\) regulären und beschränkten Funktion, die in vorgegebenen Punkten \(z_\nu \)( \( |z_\nu | < 1\)) vorgegebene Werte annimmt, sowie um Grenzfälle dieses Problems (G. Pick, 1915, 1917; F. d. M. 45, 642 (JFM 45.0642.*); 46, 474; I. Schur, 1917, 1918; F. d. M. 46, 475; Verf., 1920, 1922; F. d. M. 47, 271 (JFM 47.0271.*); 48; 322, 1226). Neuere Untersuchungen von Denjoy (1929; F. d. M. \(55_{\text{I}}\); 180, 181) und von Carathéodory (1929; F. d. M. \(55_{\text{I}}\), 209) erlauben jetzt eine abschließende Behandlung. Es läßt sich nämlich nach Denjoy nun auch die Eindeutigkeitsfrage bei unendlich vielen vorgegebenen Werten restlos beantworten, und Verf. gibt ferner auch im Falle einer vieldeutigen Lösung diese vollständig an. Die Carathéodoryschen Resultate gestatten, in dem Grenzfall, bei dem Werte in Punkten \(z_\nu\) mit \(| z_\nu| = 1\) vorgegeben sind, dort von der Forderung der Regularität abzusehen.
Der ganze Problemkreis wird ausführlich von Grund auf abgehandelt. Im ersten Abschnitt werden vorbereitende Dinge erörtert: lineare Transformationen des Einheitskreises in sich, das Schwarzsche, das Julia-Carathéodorysche und das Löwnersche Lemma. Im zweiten Abschnitt wird das Interpolationsproblem bei endlich und bei unendlich vielen im Inneren des Einheitskreises vorgegebenen Werten gelöst. Im dritten Abschnitt werden die Grenzfälle behandelt, nämlich der Fall, in dem die gegebenen Punkte auf dem Rande liegen, sowie der, daß gewisse der \(z_\nu\) zusammenfallen.

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