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Sur l’itération des fonctions holomorphes dans un demiplan. (French) JFM 55.0769.04

In einer Reihe von Noten hatten Verf. und Denjoy die Folge der Iterierten einer Funktion \(f (z)\) untersucht, die in einem gewissen Kreis \(C\) regulär ist, und deren Wertevorrat wieder in \(C\) liegt (C. R. 182 (1926); 42-43, 200-201, 255-257, 918-920; 183 (1926), 500-502; F. d. M. 52). Ist \(z_1 = f(z), \dots, z_n= f(z_{n-1})\), so strebt \(z_n\) gegen einen von \(z\) unabhängigen Grenzwert \(\beta\), der im Innern oder auf dem Rande von \(C\) liegen kann.
In der vorliegenden Arbeit wird nun für den letzten Fall näher untersucht, in welcher Weise \(z_n\) gegen \(\beta\) strebt. Statt eines Kreises wird die rechte Halbebene genommen, für \(\beta\) der unendlich ferne Punkt. Dann sind zwei Fälle möglich: Setzt man \[ z_n=x_n + i y_n = r_n e^{i \varphi_n}, \] so kann die Folge der \(x_n\) konvergieren oder divergieren. Im ersten Fall strebt \(y_{n+1} - y_n\) gegen eine von Null verschiedene Konstante; im zweiten Fall sind noch zwei Unterfälle zu unterscheiden; es ergibt sich dann z. B., daß unter gewissen Bedingungen \(\varphi_n\) für jedes \(z\) gegen einen Grenzwert strebt, der unter Umständen für alle \(z\) gleich Null ist.

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Full Text: DOI Numdam EuDML