Sur un théorème de M. G. Pólya. (French) JFM 55.0778.01

Gelfond, A.

Rendiconti Accad. d. L. Roma (6) 10, 569-574 (1929).

Pólya hat gezeigt, daß die kleinste ganze transzendente ganzwertige Funktion im wesentlichen mit \(2^z\) übereinstimmt. Verf. verallgemeinert diese Fragestellung in dem Sinne, daß er nicht nur von der Funktion selbst, sondern von ihren ersten \(p\) sukzessiven Derivierten Ganzwertigkeit verlangt. Mit Hilfe einer geeigneten Darstellung der betreffenden ganzen Funktion beweist er den folgenden Satz:
Wenn \(g(z)\) und ihre \(p - 1\) ersten Derivierten für \(z = 0, 1, 2, 3, \dots\) ganze reelle Funktionswerte annehmen und \[ |g(z)| < Ae^{\alpha|z|}, \quad \text{ wobei } \quad \alpha < p\log\left(1 + e^{-\tfrac{p-1}{p}}\right), \] so ist \(g(z)\) ein Polynom.

Reviewer: Saxer, Prof. W. (Goldbach-Küßnacht)

JFM Section:

Zweiter Halbband. Vierter Abschnitt. Analysis. Kapitel 4. Allgemeine Theorie der Funktionen komplexer Argumente.