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Zur Theorie der algebraischen Funktionen zweier Veränderlichen. I. (German) JFM 55.0805.03

Bei den algebraischen Funktionen einer Veränderlichen gestattet die Riemannsche Formel \[ 2 - 2p = 2n - w \tag{1} \] die topologische Invariante \(p\) der Riemannschen Fläche durch die funktionentheoretischen (z. B. aus der definierenden Gleichung berechenbaren) Größen \(n =\) Blätterzahl, \(w =\) Summe aller Verzweigungsordnungen zu bestimmen. Entsprechend wird hier die Kombination \[ \sum_{\nu=0}^4 (-1)^\nu (P_\nu-1) = 3 - 2P_1 + P_2 \tag{2} \] der Bettischen Zahlen für die vierdimensionale Riemannsche Mannigfaltigkeit \(R\) unserer Funktion aus Verzweigungskennzahlen von \(R\) berechnet. Und zwar ist nach der Verallgemeinerung der Eulerschen Polyederformel \[ \sum_{\nu=0}^4 (-1)^\nu (P_\nu-1) = \sum_{\nu=0}^4 (-1)^\nu A_\nu, \tag{3} \] wo \(A_\nu\) die Anzahl der \(\nu\)-Zellen bei einer Zellteilung von \(R\) bedeutet. Durch geeignete Wahl einer solchen gelingt es, die rechte Seite von (3) zu berechnen, und zwar ergibt sich analog zu (1) \[ 3 - 2P_1 + P_2 = 4N - W. \] \(N\) ist die Blätterzahl von \(R\), während sich die ganze Zahl \(W\) in begreiflicherweise etwas verwickelter Art aus Kennzahlen für die Verzweigungskurven und -punkte zusammensetzt.

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