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Über die Verzweigung einer algebraischen Funktion zweier Veränderlichen in der Umgebung einer singulären Stelle. (German) JFM 55.0805.04

Im Anschluß an eine Arbeit von Brauner (1928; F. d. M. 54, 373 (JFM 54.0373.*)) wird in besonders durchsichtiger Weise die Verzweigung einer an der Stelle 0 (\(x = 0, y = 0\)) algebroiden Funktion zweier komplexer Veränderlichen geometrisch untersucht. Zunächst wird gezeigt, daß sich für die den Umlaufspermutationen entsprechenden Wegklassen des 4-dimensionalen \(xy\)-Raumes Vertreter in einer 3-dimensionalen Mannigfaltigkeit wählen lassen; als solche dient hier der Rand \[ \begin{matrix} |x|=r, \\ |y| \leqq r^\prime \end{matrix} \quad \text{ und } \quad \begin{matrix} |x| \leqq r, \\ |y| = r^\prime \end{matrix} \] eines den Punkt 0 enthaltenden Bizylinders. Die beiden Bestandteile dieses Randes lassen sich dann ohne weiteres auf das Innere bzw. Äußere eines Torus im gewöhnlichen dreidimensionalen Raum abbilden. Es handelt sich dann einfach um die Untersuchung der Verschlingungen eines beliebigen geschlossenen Wegs mit den Bildern der durch 0 gehenden (zweidimensionalen analytischen) Verzweigungskurven; diese Bilder sind Torus- bzw. Schlauchknoten (vgl. das oben genannte Referat von Behnke über die Arbeit von Brauner). Jeder geschlossene Weg läßt sich nun durch geeignete Deformation in eine Aufeinanderfolge von Elementarumläufen verwandeln, denen dann erzeugende Substitutionen der Verzweigungsgruppe entsprechen; und zwar gelangt man so unmittelbar zu den vereinfachten Erzeugendensystemen bzw. definierenden Relationen von Brauner, unter Vermeidung der “Wirtingerschen Relationen” in ihrer ursprünglichen Gestalt. So erhält man z. B. genau \(k + 1\) Erzeugende mit \(k\) unabhängigen Relationen, wenn eine Verzweigungskurve mit der Darstellung \[ y = a_1 x^{\tfrac{m_1}{n_1}} + a_2 x^{\tfrac{m_2}{n_2}} + a_3 x^{\tfrac{m_3}{n_3}} + \cdots \] vorliegt \(((m_\lambda, n_\lambda) = 1\); \(n_1, n_2, \dots\) haben ein kleinstes gemeinsames Vielfaches \(n\); \(k\) ist die kleinste Zahl, für die \(n\) das kleinste gemeinsame Vielfache von \(n_1, n_2, \dots, n_k\) ist).
Zum Schluß werden in gewissen einfachen Fällen aus Annahmen über die durch 0 gehenden Verzweigungskurven analytische Darstellungen für die Umgebung von 0 hergeleitet.

Citations:

JFM 54.0373.*
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