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Das Schließungsproblem der Kegelschnitte und seine Beziehung zu den elliptischen Funktionen. (German) JFM 55.0809.01
Ausführlichere Darstellung des schon in der in F. d. M. 54, 680 (JFM 54.0680.*) besprochenen Arbeit behandelten Stoffes. Befinden sich zwei Kegelschnitte in Schließungslage, so wird durch die \(\infty^1\) dem ersten ein- und dem zweiten umbeschriebenen Dreiecke eine \((2, 2)\)-Korrespondenz zwischen den binären Gebieten \(\lambda\) und \(\mu\) der beiden Kegelschnitte erzeugt. Deutet man nun \(\lambda,\mu\) als inhomogene Koordinaten in einem cartesischen Koordinatensystem, so wird diese Korrespondenz auf eine elliptische Kurve vierter Ordnung abgebildet, deren Doppelpunkte in den uneigentlichen Punkten der beiden Achsen liegen. Transformiert man diese in eine elliptische Normalkurve dritter Ordnung \(C^3\), so wird die Figur eines Schließungsdreiecks und seines “Gegendreiecks” auf zwei der \(C^3\) einbeschriebene Dreiecke abgebildet. Diese sind dreifach perspektiv. Die Perspektivitätszentren – zwei von ihnen, die bei der Transformation aus den Doppelpunkten der \(C_4\) entstandenen “Zentralpunkte”, sind fest zu denken – liegen auf der \(C^3\) und bilden zusammen mit den genannten Dreiecken eine Konfiguration von Pappus \((9_3 \;9_3)\), die leicht konstruiert und unabhängig von der \(C^3\) synthetisch untersucht werden kann. Eine analytische Behandlung der Figur liefert in Bezug auf das durch die neun Punkte der Konfiguration bestimmte Büschel \(B\) von \(C^3\) die Sätze: (1) In \(B\) gibt es drei Paare von Kurven, für welche je eines der “Zentraldreiecke” (Dreiecke der Konfiguration) auf eine der beiden möglichen Weisen Tangentialdreieck ist. (Die \(C^3\) berührt in einem Eckpunkt eine der beiden Dreiecksseiten.) (2) In einem Zentraldreieck bilden die drei von einem Eckpunkt ausgehenden Konfigurationsgeraden mit der Tangente an eine Kurve des Büschels \(B\) für alle Eckpunkte ein- und dasselbe Doppelverhältnis. Schließlich wird die Konfiguration auf der \(C^3\) mit transzendenten Hilfsmitteln untersucht. Hauptresultate: (1) Die beiden Zentralpunkte können auf der \(C^3\) nicht willkürlich gewählt werden. Wird einer vorgegeben, so ist der andere zweideutig bestimmt. Wählt man einen davon aus, so wird der andere der dritte Eckpunkt des ersten Zentraldreiecks. (2) Auf der \(C^3\) existieren zwei Zentraldreiecke, die zugleich – auf eine der beiden möglichen Weisen -Tangentialdreiecke der Kurve sind. (3) Die Tangentialpunkte der Konfigurationspunkte bilden eine Konfiguration von gleicher Art. (Sonderfall, in dem zwei Eckpunkte eines Zentraldreiecks zusammenfallen.) (V 5 B, C.)
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