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Zur Theorie der beschränkten Bilinearformen. (German) JFM 55.0826.01

Für eine beliebige komplexe (nicht-Hermitesche) beschränkte unendliche Form \(\mathfrak A \| a_{pq}\|\) \((p, q = 1, 2, 3,\dots)\) versteht der Verfasser unter dem Spektrum \(S(\mathfrak A)\) die Gesamtheit der Werte \(\lambda\), für welche \(\lambda\mathfrak E - \mathfrak A\) eine Reziproke hat. Hierbei hat \(\mathfrak A\) eine Reziproke, wenn eine Matrix \(\mathfrak B\) existiert, so daß \(\mathfrak A \mathfrak B = \mathfrak B \mathfrak A = \mathfrak E\). Es ist immer \(\mathbf S(\mathfrak A)\) in \(\mathbf W(\mathfrak A)\) enthalten, wobei \(\mathbf W(\mathfrak A)\) die abgeschlossene Hülle der Werte von \(\sum a_{pq} x_p \bar x_q\) für \(|\mathfrak x|^2 = 1\) bedeutet. \(\mathbf W(\mathfrak A)\) ist immer konvex, also ist die kleinste konvexe Hülle \(\mathbf T(\mathfrak A)\) von \(\mathbf S(\mathfrak A)\) in \(\mathbf W(\mathfrak A)\) enthalten. \(\mathfrak A\) heißt normaloid, wenn die obere Grenze des absoluten Betrages von \(\sum a_{pq} x_p \bar x_q\) für \(|\mathfrak x|^2 = 1\) nicht kleiner ist als die obere Grenze von \(\sum a_{pq} x_p y_q\) für \(|\mathfrak x|^2 = 1\) und \(|\mathfrak h|^2 = 1\). Ist \(\mathfrak A\) normaloid, so gilt die wichtige Konvexitätsregel \(\mathbf T(\mathfrak A) = \mathbf W(\mathfrak A)\). Für die Bilinearform \(\sum\limits_{p=1}^\infty x_p \, \sum\limits_{\varrho = 0}^\infty \alpha_\varrho y_{\varrho+p}\) ist das Spektrum identisch mit dem Bereiche \(\varGamma^\prime\), auf dessen Inneres das Kreisgebiet \(|z| < 1\) durch die (nicht notwendig schlichte) Funktion \(w = \sum\limits_{n=0}^\infty \alpha_n z^n\) abgebildet wird.
Ist \(\mathfrak H\) eine Hermitesche Matrix, so definiert Verf. für jede komplexe stetige Funktion \(F(\xi)\) die (nicht immer Hermitesche) Form \(F(\mathfrak H)\). Es ist \(\mathbf S(F(\mathfrak H)) = F(\mathbf S(\mathfrak H))\). Insbesondere ist \(F(\mathfrak H) = e^{i\mathfrak H}\) eine unitäre Matrix. Umgekehrt ist jede unitäre Matrix \(\mathfrak U\) in dieser Form darstellbar, und wenn man an \(\mathfrak H\) eine gewisse Reduziertheitsforderung stellt, so ist die Zuordnung von \(\mathfrak H\) und \(\mathfrak U\) umkehrbar eindeutig. – Ist \(\mathfrak H\) Hermitesch, so ist \(\mathfrak P = e^{\mathfrak H}\) positiv definit und Hermitesch; umgekehrt ist jede Matrix \(\mathfrak P\) so darstellbar (eindeutig). -
Außerdem Aussagen über normale Matrizen \(\mathfrak A \mathfrak A^* = \mathfrak A^* \mathfrak A\).

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