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Über einige Verallgemeinerungen des Eulerschen Produktes. (German) JFM 55.0837.02

Verhandlungen der Naturforschenden Gesellschaft in Basel 40, 153-214 (1929).
Verf. betrachtet Produkte \[ \underset{\nu=0} {\overset{\infty} \varPi} (1+x_{\nu}) = \varPhi (x) \quad (x_0=x; \, x_{\nu+1}=\varphi(x_{\nu}) \quad \text{für} \quad \nu=0,1, \ldots), \] wobei \(\varphi(x)\) rational und \(\varPhi(x)\) algebraisch ist. Da stets \[ \frac{\varPhi(\varphi (x) )}{\varPhi(x)} = \frac{1}{1+x} \] ist, braucht man nur die Lösungen dieser Funktionalgleichung zu suchen, die die gewünschten Eigenschaften haben und ein konvergentes Produkt liefern. Es zeigt sich, daß \(\varPhi(x)\) eine \(n\)-te Wurzel aus einer rationalen Funktion sein muß; im einzelnen gibt es drei Typen von Lösungspaaren mit linearem \(\varphi\) und zwei mit quadratischem. Darüber hinaus stellt Verf. auch die Lösungen der Funktionalgleichung auf, bei denen \(\varPhi\) nicht mehr algebraisch ist; sie bilden z. T. von einem Parameter abhängige Scharen; daneben gibt es noch eine endliche Anzahl andersartiger Lösungen, die alle aufgeführt werden. Die Arbeit enthält eine Fülle von Einzelbetrachtungen und auch numerischen Einzelergebnissen. (IV 4.)