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Über das asymptotische Verhalten der Lösungen linearer Differentialgleichungen. (German) JFM 55.0852.02
Verf. verallgemeinert und vervollständigt Ergebnisse von O. Perron (1920 ; F. d. M. 47, 406 (JFM 47.0406.*)), die sich auf das asymptotische Verhalten für \(x \to \infty\) der Lösungen einer linearen Differentialgleichung \[ \displaylines{\rlap{(1)} \hfill y^{(n)} + \sum\limits_{\nu=n-1}^{0} [a_{\nu}-\delta_\nu(x)] y^{(\nu)} = \varphi(x) \hfill } \] mit einer reellen Variablen \(x\) und reellen oder komplexen Koeffizienten \([a_{\nu}-\delta_\nu(x)]\) und ebensolchem \(\varphi(x)\) beziehen, wobei \(\delta_{\nu}(x)\) und \(\varphi(x)\) stetig für \(x \geqq 0\) und \[ \delta_{\nu}(x) \to 0, \quad \varphi(x) \to b \quad \text{für} \quad x \to \infty. \] Für konstante Koeffizienten, d. h. \(\delta_1(x) \equiv \cdots \equiv \delta_{n-1}(x) \equiv 0\), soll (1) insbesondere als \((1_0)\) bezeichnet werden.
I. Zunächst wird die Gleichung erster Ordnung mit konstanten Koeffizienten \[ \displaylines{\rlap{(2)} \hfill y' - \varrho y = \varphi(x) \hfill } \] untersucht: Für \(\mathfrak{R} \varrho < 0\) strebt jede Lösung von (2) nach dem Grenzwert \(-\dfrac{b}{\varrho}\), für \(\mathfrak{R} \varrho > 0\) genau die eine Lösung \[ y = -e^{\varrho x} \int\limits_{x}^{\infty} e^{-\varrho \xi} \varphi(\xi)\, d \xi \] (alle ändern gehen stärker gegen \(\infty\) als jede Potenz von \(x\)) und für \(\mathfrak{R} \varrho = 0, \, \varrho = i \tau \neq 0\) genau die Lösung \[ y = -\frac{b}{\varrho}-e^{\varrho x} \int\limits_{x}^{\infty} e^{-\varrho \xi} [\varphi(\xi) - b]\, d \xi, \] falls dieses Integral existiert. Für alle diese “konvergenten” Lösungen gilt \(y'(x) \to 0\) für \(x \to \infty\).
Die allgemeine Gleichung \((1_0)\) ist äquivalent einem System \[ \displaylines{\rlap{(3)} \hfill \begin{aligned} & y_{\nu}'-\varrho_{\nu}y_{\nu}=y_{\nu+1} \qquad (\nu = 0,1, \ldots, n-1), \\ & y_{\nu}'-\varrho_{\nu}y_n=\varphi(x), \end{aligned} \hfill } \] wobei \(y=y_1\) und \(\varrho_1, \ldots, \varrho_n\) die Wurzeln der charakteristischen Gleichung \[ \displaylines{\rlap{(4)} \hfill \varrho^n + a_{n-1} \varrho^{n-1} + \cdots + a_1 \varrho + a_0 = 0 \hfill } \] in irgend einer Reihenfolge sind. Indem Verf. auf die Gleichungen (3) der Reihe nach die für den Spezialfall (2) gefundenen Ergebnisse anwendet, findet er:
Bei allen konvergenten Lösungen von (1) gilt \(y^{(\nu)}(x) \to 0\) für \(x \to \infty \, (\nu = 1,2, \ldots,n)\). Es gibt genau dann solche Lösungen, wenn für jede rein imaginäre \(l\)-fache Wurzel \(\varrho = i \tau\) von (4) die Integrale \[ \displaylines{\rlap{(5)} \hfill \int\limits_{0}^{\infty} e^{-i \tau \xi} [\varphi(\xi)-b] \, d \xi, \ldots, \int\limits_{0}^{\infty} d \xi_1 \, \int\limits_{\xi_1}^{\infty} d \xi_2 \ldots \int\limits_{\xi_{l-1}}^{\infty} e^{-i \tau \xi_l} [\varphi(\xi_l)-b] \, d \xi_l \hfill } \] existieren. Im Fall \(a_0=0\) muß außerdem \(b = 0\) sein.
Ist \(a_0 \neq 0\), so streben alle konvergenten Lösungen gegen denselben Grenzwert \(\dfrac{b}{a_0}\), und zwar gibt es, wenn \(g\) die Anzahl der \(\varrho_{\nu}\) mit \(\mathfrak{R} \varrho_{\nu} < 0\) bezeichnet, zu beliebig vorgeschriebenen Werten \[ \displaylines{\rlap{(6)} \hfill y(0), \ldots, y^{(g-1)}(0) \hfill } \] genau eine derartige Lösung. Ist dagegen \(a_0 = 0\), so kann man auch \(y^{(g)}(0)\) vorschreiben; \(\lim\limits_{x \to \infty} y (x)\) hängt dann von \(y^{(g)}(0)\) ab; genau eine dieser Lösungen ist – bei beliebig vorgegebenen Werten (6) – nullstrebig.
Hierin ist enthalten: 1) Falls alle \(\mathfrak{R} \varrho_{\nu} \neq 0\), gibt es immer konvergente Lösungen; 2) falls alle \(\mathfrak{R} \varrho_{\nu} < 0\), sind alle Lösungen konvergent; 3) falls alle \(\mathfrak{R} \varrho_{\nu} > 0\), ist genau eine Lösung konvergent. (Sind alle \(\varrho_{\nu}\) sogar reell, so ist 1) und 3) das Perronsche Ergebnis.)
II. Die allgemeine Gleichung (1) läßt sich schreiben \[ y^{(n)} + \sum\limits_{\nu=n-1}^{0} a_{\nu}y^{(\nu)} = \varphi(x) + \sum\limits_{\nu=n-1}^{0} \delta_{\nu}(x) y^{(\nu)}; \] löst man dieselbe mittels der Methode der sukzessiven Approximationen, indem man mit einer Lösung \(y_0\) von \((1_0)\) beginnt, so erhält man die Gleichungen \[ y_k^{(n)} + \sum\limits_{\nu=n-1}^{0} a_{\nu}y_k^{(\nu)} = \varphi(x) + \sum\limits_{\nu=n-1}^{0} \delta_{\nu}(x) y_{k-1}^{(\nu)} \qquad (k=1,2,3, \ldots ), \] auf die man der Reihe nach die für \((1_0)\) gewonnenen Ergebnisse anwenden kann. Dabei ergibt sich:
Zu den bisherigen Voraussetzungen trete folgende: Gibt es rein imaginäre \(\varrho_{\nu}\), deren höchste Vielfachheit \(p\) sei, so soll \[ \displaylines{\rlap{(7)} \hfill \int\limits_{0}^{\infty} x^{p-1} \sum\limits_{\nu=0}^{n-1} |\delta_{\nu}(x)| \, dx \hfill } \] konvergieren. Dann haben (1) und \((1_0)\) immer gleichzeitig Lösungen \(y\) bzw. \(\bar{y}\), bei denen \[ y^{(\nu)}(x) = O(1) \quad \text{und} \quad \bar{y}^{(\nu)}(x) = O(1) \qquad (\nu = 0, 1, \ldots, n-1) \] oder auch allgemeiner für \(s \neq \mathfrak{R} \varrho_{\nu} \, (\nu= 1, 2, \ldots, n)\) \[ y^{(\nu)}(x) = O(e^{sx}) \quad \text{und} \quad \bar{y}^{(\nu)}(x) = O(e^{sx}) \qquad (\nu = 0, 1, \ldots, n-1). \] (Der Fall \(s = \mathfrak{R} \varrho_{\nu}\) für mindestens ein \(\nu\) wird ebenfalls behandelt.) Zu jedem solchen \(\bar{y}\) gibt es ein \(y\), für welches \[ \begin{aligned} y^{(\nu)}(x) &= \bar{y}^{(\nu)}(x) + o(1) \qquad (\nu = 0, 1, \ldots, n), \\ y^{(\nu)}(x_0) &= \bar{y}^{(\nu)}(x_0) \qquad \qquad \quad (\nu = 0, 1, \ldots, g-1) \end{aligned} \] bei hinreichend großem \(x_0\), und umgekehrt.
Bei bekanntem asymptotischem Verhalten von \(\varphi(x)\) liefert dieser Vergleichssatz zusammen mit den in I für die Lösungen von \((1_0)\) ausgesprochenen Ergebnissen Aussagen über das asymptotische Verhalten der Lösungen von (1): Ist \(\varphi(x)\) für \(x \geqq 0\) stetig und beschränkt, so sind bei jeder beschränkten Lösung \(y\) auch die Ableitungen \(y', y'', \ldots, y^{(n)}\) beschränkt. Wenn \(\varphi(x) \to b\) strebt für \(x \to \infty\) und alle \(\mathfrak{R} \varrho_{\nu} \neq 0\) sind, so gilt für alle beschränkten Lösungen von (1) \[ y \to \frac{b}{a_0}, \, y' \to 0, \ldots, y^{(n)} \to 0 \quad \text{für} \quad x \to \infty. \] Hat Gleichung (4) rein imaginäre Wurzeln und konvergiert dabei das Integral (7), so gibt es genau dann Lösungen \(y\) mit endlichem \(\lim\limits_{x \to \infty} y(x)\), wenn für jede rein imaginäre \(l\)-fache Wurzel \(\varrho=i \tau\) die Integrale (5) existieren; wenn \(a_0=0\) ist, muß außerdem \(b = 0\) sein. – Auch diese Ergebnisse werden noch verallgemeinert.
Zum Schluß macht Verf. Anwendungen auf die homogene Gleichung \((\varphi(x) \equiv 0): \, s_1 < s_2 < \cdots < s_m\) seien die verschiedenen Realteile der \(\varrho_{\nu}\); die Anzahl der \(\varrho_{\nu}\) mit \(\mathfrak{R} \varrho_{\nu} = s_{\mu}\) sei \(e_{\mu}\). Dann hat die homogene Gleichung (1) ein Fundamentalsystem von Lösungen, das derart in \(m\) Klassen zerfällt, daß für die Lösungen der \(\mu\)-ten Klasse und deren lineare Verbindungen. \[ \varlimsup\limits_{x \to \infty} \frac{1}{x} \log |y^{(\nu)}(x)| = s_{\mu} \qquad (\nu = 0, 1, \ldots, n); \] die Anzahl der Lösungen in der \(\mu\)-ten Klasse ist gleich \(e_{\mu}\). Außerdem ein Vergleichssatz für Lösungen der homogenen Gleichungen (1) und \((1_0)\).

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