Solution principale de l’équation aux différences finies de Poincaré. (French) JFM 55.0871.01

Raclis, R. N.

The\`se Paris. 119 p. Paris, Les Presses Universitaires de France (1929).

Bei gegebenen Größen \(\alpha_1\), \(\alpha_2, \dots, \alpha_p\); \(k_1\), \(k_2, \dots, k_p\); \(\beta_1\), \(\beta_2, \dots, \beta_q\) und gegebener Funktion \(\varphi(x)\) betrachtet Verf. die durch wiederholte Anwendung der Differenzenbildungen \[ \mathop{\varDelta}\limits_{\alpha_1}^{1}\varphi(x)= \frac{k_1\varphi(x+\alpha_1)+\varphi(x)}{k_1+1} \] und \[ \mathop{\varDelta}\limits_{\beta_1}^{1}\varphi(x)= \frac{\varphi(x+\beta_1)-\varphi(x)}{\beta_1} \] entstehenden höheren Differenzen \[ \begin{split} \mathop{\varDelta}\limits_{\alpha_1\dots\alpha_p}^{p} \Big(\mathop{\varDelta}\limits_{\beta_1\dots\beta_q}^{q}\varphi(x)\Big)= \mathop{\varDelta}\limits_{\alpha_1\dots\alpha_p,\beta_1\dots\beta_q}^{p,q} \varphi(x)\\ =\sum\varphi(x+r_1\alpha_1+\cdots+r_p\alpha_p+s_1\beta_1+\cdots+s_q\beta_q), \end{split} \] wobei \(\sum\) abkürzend für \[ \frac1{(k_1+1)\dots(k_p+1)}\frac1{\beta_1\dots\beta_q}\sum\limits_{r_1=0}^{1} \cdots\sum\limits_{r_p=0}^{1}\sum\limits_{s_1=0}^{1}\cdots\sum\limits_{s_q=0}^{1} k_1^{r_1}\cdots k_p^{r_p}(-1)^{q-s_1-\cdot\,\cdot-s_q} \] gesetzt ist. Das Ziel ist die Aufstellung der Nörlundschen “Hauptlösung” für die Differenzengleichung \[ \mathop{\varDelta}\limits_{\alpha_1\dots\alpha_p,\beta_1\dots\beta_q}^{p,q} \varphi(x)=F(x) \tag{1} \] zu gegebenem \(F (x)\). Begonnen wird mit dem einfachen Fall, daß \[ F(x)= (m+q)(m+q-1)\cdots(m+1)x^m \] ist. Dann ergibt sich als Polynomlösung \(\varphi(x)\) ein Polynom vom \((m+ q)\)-ten Grad, das bis auf ein Polynom \((q - 1)\)-ten Grades bestimmt ist. Durch gewisse Festsetzungen wird eine Lösung \(R_{m+q}^{(p,q)}(x;\alpha_1,\dots,\alpha_p;k_1,\dots,k_p;\beta_1,\dots,\beta_q)\) ausgezeichnet. Deren Eigenschaften und der Zusammenhang mit den Bernoullischen Polynomen werden untersucht. Ist weiter die rechte Seite \(F(x)\) in (1) ein Polynom \(n\)-ten Grades, so ist die Hauptlösung eine Summe von Polynomen \(R_{\nu}^{(p,q)}\); \(\nu=0\), 1,…, \(n+q\).
Weiter können die Polynome \(R_{\nu}^{(p,q)}\) dazu verwandt werden, ein beliebiges Polynom \(\varphi (x)\) an der Stelle \(x + h\) durch die \(\varDelta\)-Bildungen auszudrücken durch die Formeln \[ \varphi(x+h)=\sum\limits_{\nu=0}^{m}R_\nu^{(p)}(h) \mathop{\varDelta}\limits_{\alpha_1\dots\alpha_p}^{p} \varphi^{(\nu)}(x) \] und \[ \varphi^{(q)}(x+h)=\sum\limits_{\nu=0}^{m+q}\frac{R_\nu^{(p,q)}(h)}{\nu!} \mathop{\varDelta}\limits_{\alpha_1\dots\alpha_p,\beta_1\dots\beta_q}^{p,q} \varphi^{(\nu)}(x) \] Tritt anstelle des Polynoms \(\varphi(x)\) eine beliebige differenzierbare Funktion, so können dieselben Entwicklungen angesetzt werden; doch tritt ein Restglied hinzu, das durch ein bestimmtes Integral ausgedrückt wird.
Sodann wird die Hauptlösung von (1) bestimmt, wenn \(F(x)\) irgendeine differenzierbare Funktion ist. Dieselbe wird nach folgendem Verfahren bestimmt: Formal genügt die Reihe \[ (-1)^q(k_1+1)\dots(k_p+1)\beta_1\dots\beta_q\sum(-k_1)^{r_1}\dots(-k_p)^{r_p} F(x+\varOmega) \] mit \[ \varOmega=r_1\alpha_1+\cdots+r_p\alpha_p+s_1\beta_1+\cdots+s_q\beta_q, \] wenn über alle ganzzahligen nicht negativen \(r_\nu\), \(s_\nu\) summiert wird, der Gleichung (1). Diese Reihe wird im allgemeinen nicht konvergieren. Man fügt deshalb konvergenzerzeugende Faktoren \(e^{-\eta x}\) mit \(\eta>0\) hinzu, d. h. man multipliziert jedes Glied mit \(e^{-\eta(x+\varOmega)}\) (Borelsche Summation). Um diese Abänderung auszugleichen, fügt man noch ein Polynom \((q - 1)\)-ten Grades, welches ja Lösung ist, von der Form \[ \int\limits_{a}^{\infty}\frac{P_{q-1}(x-t)}{(q-1)!}F(t)e^{-\eta t}\,dt \] hinzu, wo \(P_{q-1}\) ein gewisses Polynom, \(a\) eine Konstante bezeichnet. Dann wird gezeigt, daß der Grenzwert \(\eta\to0\) existiert für \(a\leqq x\leqq b\). Diese so gewonnene Lösung wird als Hauptlösung bezeichnet. Beim Beweise werden die vorher aufgestellten Summationsformeln benutzt. Für die Hauptlösung \(F^{(p,q)}(x)\) gilt folgende Darstellung: Unter \(\mathop{R}\limits^{*}{}_m^{(p,q)}\) werde die durch gewisse Nebenbedingungen eindeutig festgelegte Polynomlösung von \[ \mathop{\varDelta}\limits^{p,q}\mathop{R}^{*}{}_m^{(p,q)}=0 \] verstanden. Man setze \[ f(x)=\int\limits_{a}^{x}\frac{(x-t)^{q-1}}{(q-1)!}F(t)\,dt,\quad f^{(q)}(x)=F(x). \] Dann wird \[ F^{(p,q)}(x+h)=\sum\limits_{\nu=0}^{m+q}\frac{R_\nu^{(p,q)}}{\nu!}f^{(\nu)}(x)+ \int\limits_{0}^{\infty}\frac {\mathop{R}\limits^{*}{}_{m+q}^{(p,q)}(h-t)}{(m+q)!} f^{(m+q+1)}(x+t)\,dt. \] Es folgen asymptotische Darstellungen von \(F^{(p,q)}\) für große reelle Werte von \(x\). Die Ableitungen werden untersucht; es besteht der Satz: Die \((m+q)\)-te Derivierte der Hauptlösung konvergiert mit \(x\to\infty\) gegen einen endlichen Grenzwert. -Schließlich werden die Ergebnisse auf die spezielle Poincarésche Differenzengleichung der Form \[ \varphi(x+a_{r})+A_{r-1}(x)\varphi(x+a_{r-1})+\cdots+A_0(x)\varphi(x)=F(x) \] angewandt unter den Annahmen, daß \(A_\nu(x)\mathop{\to}\limits_{x\to\infty}A_\nu\), und daß die \(a_\nu\) und \(A_\nu\) so beschaffen sind, daß die Gleichung unter den Typ (1) fällt. Die Hauptlösung wird aufgestellt.

Reviewer: Hammerstein, Prof. A. (Kiel)

JFM Section:

Zweiter Halbband. Vierter Abschnitt. Analysis. Kapitel 11. Differenzenrechnung. Analytische Theorie der Kettenbrüche.