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Transformations de contact et problème de Pfaff. (French) JFM 55.0876.01

58 p. Paris, Gauthier-Villars (Mémorial des Sc. math. fasc. 37) (1929).
Es handelt sich um die Darstellung von Ergebnissen aus 35 im Literaturverzeichnis angeführten Abhandlungen und größeren Untersuchungen, sofern sie den Zusammenhang des Pfaffschen Problems mit der Theorie der Berührungstransformationen betreffen, Abhandlungen und Untersuchungen, welche bis zum Jahre 1814 zurückliegen. Um eine solche Aufgabe in dem räumlich so beschränkten Umfang mit der Gründlichkeit zu lösen, wie sie Verf. erreichen konnte, bedarf es vor allem eines leistungsfähigen Formalismus. Dieser wird naturgemäß von Verf. in seiner neuesten Ausbildung, welche man vor allem E. Cartan verdankt, vorangestellt. Nach einem Exkurs über die Regeln der Graßmannschen sogenannten “äußeren Multiplikation” wird der Rang einer “äußeren Form” (linearer Ausdruck äußerer Monome vom Grad \(p\) mit Koeffizienten, die den gewöhnlichen Rechenregeln genügen) – definiert als Minimalzahl der Variablen bzw. als Rangzahl des der Form assoziierten Systems -eingeführt. Die für das folgende wesentlichen formalen und begrifflichen Hilfsmittel gehören in die Cartan-Goursatsche Theorie symbolischer Differentialformen: “äußere Differentialformen” (schiefsymmetrische Tensorfelder), der Prozeß der “äußeren Ableitung” (Verallgemeinerung der Rotationsbildung). Im linearen Fall der Pfaffschen Formen \(\omega\) ergibt sich als erste äußere Ableitung die bilineare Kovariante \(\omega'\) der Form; die Klasse der Form ist wiederum als Minimalzahl der Variablen, welche die Form darstellt, bzw. als Rang des assoziierten “charakteristischen Systems” gegeben. Mit Vorzug behandelt Verf. Goursats, “konjugierte” bzw. “halbkonjugierte” Gruppen. Man versteht zunächst unter \(q\) unabhängigen Funktionen \[ f_1,f_2,\dots,f_q\qquad(q<n) \] von \(x_1\), \(x_2, \dots, x_n\) eine Grappe vom Rang \(r\) in bezug auf die Pfaffsche Form \(\omega\), wenn die Relationen \[ \begin{aligned} f_1&=a_1,&f_2&=a_2,\dots,&f_q&=a_q\\ df_1&=0,&df_2&=0,\dots,&df_q&=0 \end{aligned} \] (mit beliebigen Konstanten \(a_1\), \(a_2, \dots, a_q\)) die Klasse der Form um \(r\) Einheiten erniedrigen (\(r\leqq 2q\)). Für \(r= 2q\) handelt es sich um eine “konjugierte”, für \(r=2q- 1\) um eine “halbkonjugierte” Gruppe. Die Wichtigkeit dieser Begriffe beruht auf folgendem Umstand: Die Kenntnis einer konjugierten Gruppe von \(p\) Funktionen vermittelt die Reduktion der Pfaffschen Form auf die kanonische Gestalt vermöge einer Variablentransformation ohne Quadratur im Falle gerader Klasse \((c = 2p)\) und mittels einer Quadratur im Falle ungerader Klasse \((c = 2p + 1)\). Mit der Diskussion der notwendigen und hinreichenden Bedingungen, welchen \(q\) Funktionen zu genügen haben, um eine konjugierte Gruppe im erwähnten Sinne zu bilden, erscheinen die wichtigsten Hilfsmittel für das folgende Thema erschöpft.
Das Pfaffsche Problem ist bekanntlich im wesentlichen ein Äquivalenzproblem: Zwei lineare Differentialformen sind durch Einführung neuer Variablen auf dieselbe kanonische Form zu transformieren. Sobald dies möglich ist, sind die beiden Formen äquivalent; sie besitzen dann notwendig dieselbe Klasse, und umgekehrt ist diese Eigenschaft hinreichend für Äquivalenz. Nun hat eine Transformation \[ x,z,p\to X,Z,P \] dann und nur dann den Charakter einer Berührungstransformation, wenn für die zugeordneten Pfaffschen Formen \[ \begin{aligned} \omega&=dz-p_1\,dx_1-p_2\,dx_2-\cdots-p_n\,dx_n,\\ \varOmega&=dZ-P_1\,dX_1-P_2\,dX_2-\cdots-P_n\,dX_n \end{aligned} \] die Beziehung \[ \varOmega=\varrho\omega\qquad(\varrho\neq0) \] gilt. Auf dieser Grundlage entwickelt jetzt Verf. im zweiten Kapitel die klassische Theorie der Berührungstransformation: Klammerkriterien, Transformationen in \(x\) und \(p\) (für die sich \(\varrho\) auf eine Konstante reduziert), homogene Berührungstransformationen usw. unter Verwendung teils differentieller, teils von Goursat herrührender neuerer algebraischer Methoden.
Wann sind zwei Funktionen- bzw. zwei Gleichungssysteme gegenüber der Gruppe der Berührungstransformationen äquivalent? Wann sind sie – was auf dasselbe hinauskommt – durch eine Berührungstransformation verknüpft? Dies allgemeine Problem, das für die Integrationstheorie des zu einer Pfaffschen Gleichung gehörigen charakteristischen Systems sowie auch für die Behandlung partieller Systeme erster Ordnung von größter Wichtigkeit ist, wurde bis jetzt erst in einigen speziellen Fällen im Rahmen der Theorie der Funktionengruppen gelöst. Darüber referiert Verf. im dritten Kapitel. Wichtige Beispiele bilden in diesem Zusammenhang die sogenannten Involutionssysteme. Liegen \(q\) Funktionen von \(x\), \(z\) und \(p\) paarweise in Involution, so ist diese Eigenschaft gegenüber Berührungstransformationen invariant; die Funktionen bilden die Basis einer Involutionsgruppe von der Ordnung \(q\). Wiederum spielen hier Transformationen in \(x\) und \(p\) eine Vorzugsrolle, desgleichen homogene Transformationen; in diesen Fällen finden insbesondere auf F. Engel und S. Kantor zurückgehende Untersuchungen Verwertung (vgl. [F. Engel, Jahresber. Dtsch. Math.-Ver., 14–79 (1914; JFM 45.0081.04)], [S. Kantor, Wien. Ber. 112, 755–814 (1903; JFM 34.0390.05)]). Ferner werden Funktionengruppen und Transformationen, die eine Pfaffsche Form invariant lassen, sowie Funktionengruppen und allgemeine Berührungstransformationen eigens behandelt. Ist dabei z. B. die Pfaffsche Form von gerader Klasse und die Funktionengruppe \(f_1\), \(f_2, \dots, f_q\) von der Ordnung \(q\) relativ zu den Transformationen, welche \(\omega\) bis auf ein exaktes Differential invariant lassen, so führt das System \[ f_1=c_1,\;f_2=c_2,\dots, f_q=c_q \] mit willkürlichen Konstanten \(c_1\), \(c_2, \dots, c_q\) auf ein Involutionssystem relativ zu \(\omega'\). Ähnlich liegen die Verhältnisse im Falle ungerader Klasse. Man kann stets der Funktionengruppe ein vollständiges System assoziieren. Die unabhängigen Integrale dieser Systeme liefern schließlich das Mittel, die Äquivalenz zweier Funktionengruppen gegenüber der in Rede stehenden Transformationsgruppe zu entscheiden. Im allgemeinen Falle handelt es sich schließlich um Funktionengruppen, deren Elemente nicht mehr paarweise in Involution liegen; die Ausdehnung der Theorie auf die Behandlung von partiellen Differentialsystemen zweiter Ordnung wird angedeutet.
Verf. unterläßt nicht, schon von Anfang an im Text auf zahlreiche ungelöste Probleme und Verallgemeinerungsmöglichkeiten hinzuweisen. Verschiedene Verallgemeinerungen werden am Schluß eingehend erwähnt. Hier war es vor allem die Liesche Vermutung, wonach das Problem, die Gesamtheit aller umkehrbaren Transformationen von Elementen \(q\)-ter Ordnung zu bestimmen, welche einer Fläche im allgemeinen wieder eine Fläche zuordnen, durch die sogenannten erweiterten Berührungstransformationen gelöst wird, die zu neuen Untersuchungen anregte. Bäcklund konnte zeigen, daß man jedoch auf diesem Wege nicht zu neuen Transformationen gelangt – anders gesprochen: Alle Schmiegtransformationen \[ x, y,z, p, q, r,s,t\to X, Y, Z, P, Q, R, S, T \] führen auf die bereits bekannten Berührungstransformationen zurück. Entsprechend geht das Pfaffsche System \[ dz-pdx - qdy=0,\quad dp - rdx - sdy=0,\quad dq-sdx - tdy = 0 \tag{\(*\)} \] nur bei Transformationen in sich über, welche die erste Gleichung des Systems einzeln invariant lassen. Es kommt also jetzt auf die Transformationstheorie Pfaffscher Systeme an. Verf. referiert deshalb über E. Cartans Ergebnisse auf diesem Gebiet: Übertragung der Begriffe “Klasse” und “charakteristisches System” auf Pfaffsche Systeme und Untersuchung der sogenannten “abgeleiteten Systeme”. Eine Pfaffsche Gleichung \(\varOmega=0\) gehört zum Pfaffschen System \[ \omega_1=\omega_2=\cdots=\omega_h=0 \tag{\(**\)} \] wenn \[ \varOmega=\lambda_1\omega_1+\lambda_2\omega_2+\cdots+\lambda_h\omega_h \] gilt; sie gehört zum “abgeleiteten System” (système dérivé) von (\(**\)), wenn vermöge (\(**\)) überdies \[ \varOmega'\equiv0\pmod{\omega_1,\omega_2,\dots,\omega_h} \] gilt. Mit diesen Hilfsmitteln erweist nun Verf. im Anschluß an Untersuchungen von E. Goursat die Unmöglichkeit von Berührungstransformationen zweiter Ordnung (Schmiegtransformationen): Das Pfaffsche System (\(*\)) ist eine Invariante gegenüber jeder erweiterten Berührungstransformation; umgekehrt ist jede Transformation \[ X=F_1 (x, y, z, p, q, r, s, t),\dots,T = F_8 (x, y, z, p, q, r, s, t), \] die das Pfaffsche System (\(*\)) invariant läßt, eine erweiterte Berührungstransformation. Weitere Probleme ergeben Transformationen, bei denen eine Erniedrigung der Berührungsordnung eintritt, bei denen also z. B. zwei Flächen mit einer Berührung zweiter Ordnung in zwei Flächen mit einer Berührung erster Ordnung übergehen. Verf. beschließt seine Ausführungen mit einem Hinweis auf weitere Verallgemeinerungen des Bäcklundschen Problems. (IV 8, V 6 B, C.)
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