×

The foundations of the calculus of variations in the large in \(m\)-space. I. (English) JFM 55.0906.02

Die Variationsprobleme sind positiv regulär und homogen. Im ersten Teil der Arbeit werden Extremalen zwischen zwei festen Punkten \(a\), \(b\) und die auf einem solchen Bogen liegenden konjugierten Punkte von \(a\) betrachtet. Ein konjugierter Punkt ist durch das Verschwinden einer Funktionaldeterminante charakterisiert; die Ordnung dieses Verschwindens wird die Ordnung des konjugierten Punktes genannt. Ist \(b\) nicht selbst zu \(a\) konjugiert, so ist die Summe dieser Ordnungen (also die mit gewissen Vielfachheiten zu zählende Anzahl der zu \(a\) konjugierten Punkte zwischen \(a\) und \(b\)) folgendermaßen zu bestimmen: Man betrachtet die in der Nähe des Bogens verlaufenden Polygone von Extremalenbögen mit einer festen, geeignet gewählten Eckenzahl; das über sie erstreckte Integral des vorliegenden Problems ist eine Funktion der Koordinaten der Ecken; die “Typenzahl” ihrer zweiten Differentialform \(Q\) ist die fragliche Zahl. Dabei wird unter der Typenzahl einer quadratischen Form \(Q\) die Anzahl der negativen Quadrate verstanden, wenn \(Q\) auf die kanonische Form gebracht ist. Ist \(b\) selbst zu \(a\) konjugiert, so ist der Rang \(r\) von \(Q\) kleiner als die Anzahl \(\mu\) der Variablen in \(Q\), und zwar ist \(\mu-r\) die Ordnung (s. o.) von \(b\). Im zweiten Teil werden analoge Sätze über die Brennpunkte von Extremalenscharen, die von einer Fläche \(S\) transversal geschnitten werden, bewiesen. Im dritten Teil handelt es sich um Extremalen, die durch einen festen Punkt \(O\) gehen und zu \(S\) transversal sind; dabei ist \(S\) eine geschlossene Mannigfaltigkeit. Wenn \(O\) nicht Brennpunkt von \(S\) ist, so ist die Anzahl dieser Extremalen wenigstens, gleich der Summe der Bettischen Zahlen von \(S\); ist \(M_k\) die Anzahl derjenigen unter diesen Extremalen, auf denen die Summe der Ordnungen der Brennpunkte – (diese Ordnungen sind ähnlich wie bei konjugierten Punkten definiert) – \(k\) ist, so stehen die Zahlen \(M_k\) mit den Bettischen Zahlen \(R_k-1\) von \(S\) in den Beziehungen, die vom Verf. für die Anzahlen kritischer Punkte früher aufgestellt worden sind (1925; F. d. M. 51, 451). Ein besonders einfacher und interessanter Spezialfall liegt vor, wenn das Variationsproblem das geodätische Problem des euklidischen Raumes ist, wenn also transversale Extremalen senkrechte Geraden sind.
Zu dem Beweis des Lemmas in Nr. 7 hat der Verf. eine Berichtigung unter dem Titel “The order of vanishing of the determinant of a conjugate base” (Proceedings USA Academy 17 (1931), 319-320; F. d. M. 57) veröffentlicht.
Die hier besprochene Arbeit berührt sich natürlich eng mit der älteren Arbeit des Verf. über denselben Gegenstand, setzt deren Kenntnis jedoch nicht voraus (vgl. die oben genannte Arbeit; ferner 1927, 1928; F. d. M. 53, 563 (JFM 53.0563.*); 54, 528-529). (V 2.)

Citations:

JFM 53.0563.*
PDFBibTeX XMLCite
Full Text: DOI