Closed extremals. (English) JFM 55.0907.01

Morse, M.

Proceedings USA Academy 15, 856-859 (1929).

Es handelt sich um geschlossene Extremalen eines positiv regulären, homogenen, analytischen Variationsproblems auf einer analytischen \((m - 1)\)-dimensionalen Mannigfaltigkeit \(R\) im \(m\)-dimensionalen Raum. Man betrachtet Polygone aus Extremalenbögen in der Nähe einer geschlossenen Extremalen \(g\), faßt den Wert des Integrals längs dieser Polygone als Funktion \(J\) der Koordinaten der Eckpunkte auf und untersucht die zugehörige zweite Differentialform \(Q\). Die Nullität (Ordnung minus Rang) und die Typenzahl (Anzahl der negativen Quadrate, wenn \(Q\) auf die kanonische Form gebracht ist) dieser quadratischen Form sind bekanntlich maßgebend für den Extremalbzw. Minimax-Charakter von \(g\). Die Nullität ist gleich der Anzahl der linear unabhängigen Lösungen der zugehörigen Jacobischen Differentialgleichungen, die derart periodisch sind, daß die Periode gleich der Länge von \(g\) ist. Speziell werden die geodätischen Linien auf dem Ellipsoid \(\sum\limits_{k=1}^{m}\dfrac{x^2}{a_k^2}=1\) (\(0<a_1<a_2<\dots<a_m\)) untersucht. Die Hauptellipse, die durch \(x_k = 0\) (\(k\neq i\), \(k\neq j\)) gegeben ist, hat die Typenzahl \(m + i + j - 5\). Die Typenzahlen der geschlossenen Extremalen auf \(R\), für die \(J < J_0\) ist, hängt mit den Bettischen Zahlen der folgenden Mannigfaltigkeit \(\sum\) zusammen: \(q\) ist eine feste große Zahl und \(\sum\) die Mannigfaltigkeit der geschlossenen Extremalenpolygone mit \(q\) Ecken; und zwar gilt der Satz, daß, wenn \(J_0\) wachsend die Länge einer geschlossenen Extremalen von der Typenzahl \(k\) durchschreitet, entweder die \(k\)-te Bettische Zahl von \(\sum\) um 1 zu-, oder die \((k - 1)\)-te Bettische Zahl um 1 abnimmt. Über die Existenz geschlossener geodätischer Linien auf Mannigfaltigkeiten \(R\), die topologische Bilder der \((m-1)\)-dimensionalen Sphäre sind, wird bewiesen: Sind auf \(R\) die Bilder der Großkreise der Sphäre kürzer als \(J_l\), so gibt es, bei richtiger Zählung gewisser Vielfachheiten, wenigstens \(\dfrac{m(m-1)}2\) geschlossene geodätische Linien, die kürzer als \(J_l\) sind \(\Big(\dfrac{m(m-1)}2\) ist die Anzahl der Hauptellipsen auf einem Ellipsoid\(\Big)\). Auch ein verwandter Satz, der nicht der Variationsrechnung angehört, wird angegeben: Jede Mannigfaltigkeit der eben betrachteten Art besitzt wenigstens \(m\) Durchmesser; dabei wird unter einem Durchmesser eine Sehne verstanden, die beiderseits auf der Mannigfaltigkeit senkrecht steht. – Sämtliche Sätze sind ohne Beweise ausgesprochen. (V 2.)

Reviewer: Hopf, Prof. H. (Zürich)

JFM Section:

Zweiter Halbband. Vierter Abschnitt. Analysis. Kapitel 15. Variationsrechnung.