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Zur Topologie der Abbildungen von Mannigfaltigkeiten. II: Klasseninvarianten von Abbildungen. (German) JFM 55.0965.02
Ist \(f\) eine eindeutige stetige Abbildung einer geschlossenen orientierbaren \(n\)-dimensionalen Mannigfaltigkeit \(M\) auf eine \(n\)-dimensionale Mannigfaltigkeit \(\mu\), so zählt der Brouwersche Abbildungsgrad \(c\), der bekanntlich eine Invariante der Abbildungsklasse ist, die algebraische (d. h. mit einem Vorzeichen gezählte) Anzahl der glatten Bedeckungen eines Teilgebiets von \(\mu\) durch die Bildmenge von \(M\). Die “geometrische” (d. h. ohne Vorzeichen gezählte) Anzahl der glatten Bedeckungen eines Gebiets von \(\mu\) durch das Bild von \(M\) ist also mindestens gleich \(|c|\). Kann diese untere Schranke für die geometrische Anzahl der glatten Bedeckungen innerhalb der Abbildungsklasse von \(f\) erreicht werden? Diese Frage, und allgemeiner die Frage nach einer Charakterisierung der Mindestzahl der glatten Bedeckungen im geometrischen Sinne auch im Falle berandeter Mannigfaltigkeiten (für die die Theorie des Abbildungsgrades in dem ersten Teil der Arbeit (Math. Ann. 100 (1928), 579-608; F. d. M. 54, 611-612) vom Verf. entwickelt worden ist) sowie bei nicht orientierbarer \(M\) (wo der Abbildungsgrad nicht mehr definiert ist) bilden den Gegenstand der vorliegenden Arbeit. Dabei wird auch eine andere ähnliche Frage, nämlich die nach der in der Abbildungsklasse erreichbaren Mindestzahl der Originalpunkte eines Punktes von \(\mu\), mit erledigt. Zugleich ergeben sich neue Klasseninvarianten, deren wichtigste der “Absolutgrad” ist, der sich für die Mindestzahl der glatten Bedeckungen als charakteristisch erweist. – Naturgemäß sind im Falle der berandeten Mannigfaltigkeiten die von Verf. in der oben genannten Arbeit eingeführten Begriffsbildungen von Wichtigkeit: Man untersucht die Abbildung \(f\) in der Umgebung solcher Punkte von \(\mu\), wo \(f\) kompakt ist, d. h. in der Nähe von Punkten, die eine Umgebung besitzen, deren Originalmenge in \(M\) kompakt ist. Die für das Verhalten der Abbildung in der Nähe solcher Punkte charakteristischen Zahlen sind konstant einerseits in jedem Gebiet, in dem die Abbildung kompakt ist, anderseits bei stetiger Abänderung der Abbildung, solange die Kompaktheit in dem fraglichen Punkte gewahrt bleibt (Deformationen mit dieser Einschränkung bestimmen also hier den Begriff der Abbildungsklasse). – Die Begriffsbildungen, die der Untersuchung der angedeuteten Frage zugrunde liegen, sind verwandt mit dem Nielsenschen Begriff der Fixpunktklasse. Ein wichtiges Hilfsmittel bilden Sätze über die stetige Abänderung einer Abbildung in einem Element unter Festhaltung der Randabbildung. Dieses Hilfsmittel, das im allgemeinen Falle (Dimension \(n>2\)) leicht zu handhaben ist, versagt bei zu niedriger Dimensionszahl immer dann, wenn es darauf ankommt, eine Deformation unter Vermeidung eines Punktes auszuführen. Infolgedessen muß in einigen Punkten, wie noch im einzelnen ausgeführt werden wird, der zweidimensionale Fall in der Arbeit ausgeschlossen werden, während sich der Fall \(n=1\) noch in trivialer Weise erledigen läßt (für den zweidimensionalen Fall vgl. die unten genannten Arbeiten von H. Kneser).
Jede Abbildung \(f\), oder genauer jede Klasse von Abbildungen, von \(M\) auf \(\mu\) bestimmt durch die Bilder der geschlossenen Wege von \(M\) eine homomorphe Abbildung \(H\) der Fundamentalgruppe \(\mathfrak F\) von \(M\) in die Fundamentalgruppe \(\varPhi\) von \(\mu\), d. h. einen Homomorphismus zwischen \(\mathfrak F\) und einer Untergruppe \(H(\mathfrak F\)) von \(\varPhi\); wegen einer gewissen Willkür bei der Wahl der Wegegruppe sind dabei konjugierte Untergruppen gleichberechtigt. \(H(\mathfrak F)\) heißt die zur Abbildung \(f\) gehörige “Bildgruppe”, ihr Index in \(\varPhi\) der “Index” \(j\) der Abbildung \(f\). Zu jeder Untergruppe von \(\varPhi\), insbesondere auch zu \(H(\mathfrak F)\), gehört eine Überlagerungsmannigfaltigkeit \(\mu^*\) von \(\mu\), die durch eine Überlagerungsabbildung \(\varphi\) eindeutig, stetig und im Kleinen eineindeutig so auf \(\mu\), bezogen ist, daß jedes (hinreichend kleine) Gebiet von \(\mu\) von genau \(j\) Gebieten von \(\mu^*\) glatt bedeckt wird. \(H(\mathfrak F)\) ist die Fundamentalgruppe von \(\mu^*\), und \(\mu^*\) heißt die “zu \(f\) gehörige Überlagerungsmannigfaltigkeit” von \(\mu\). Die Abbildung \(f\) läßt sich nun in zwei Abbildungen aufspalten: \(f=\varphi f^*(M)\). \(f^*\) ist eine Abbildung vom Index 1 von \(M\) auf \(\mu^*\) (die man aus \(f\) erhält, wenn man die Klassen von mod \(H(\mathfrak F)\) äquivalenten Wegen von \(\mu\) mit festem Anfangspunkt als Punkte von \(\mu^*\) deutet), und \(\varphi\) ist die oben erwähnte Überlagerungsabbildung von \(\mu^*\) auf \(\mu\). \(f^*\) ändert sich also stetig bei stetiger Abänderung von \(f\), während \(\varphi\) ungeändert bleibt.
Zwei Originalpunkte \(x_1\), \(x_2\) (auf \(M\)) eines Punktes \(\xi\) von \(\mu\) heißen “zur gleichen Schicht gehörig”, wenn es einen Weg von \(x_1\) nach \(x_2\) gibt, dessen Bild bei \(f\) auf \(\mu\) zusammenziehbar ist; die Gesamtheit der zur gleichen Schicht gehörigen Originale von \(\xi\) bildet eine Schicht. Jede Schicht ist abgeschlossen, und verschiedene Schichten von Originalen von \(\xi\) können sich nicht gegen denselben Punkt von \(M\) häufen; daraus folgt, daß immer dann, wenn die Originalmenge \(X\) von \(\xi\) in \(M\) kompakt ist (also speziell bei einer in \(\xi\) kompakten Abbildung, und insbesondere bei geschlossener \(M\)), die Anzahl der Schichten endlich ist. Zwischen der Schichtdefinition und der Aufspaltung der Abbildung \(f\) besteht folgender Zusammenhang: Dann und nur dann gehören zwei Originale \(x_1\) und \(x_2\) von \(\xi\) zur gleichen Schicht, wenn \(f^*(x_1)=f^*(x_2)\) ist. Da \(\varphi\) genau \(j\) Punkte von \(\mu^*\) auf \(\mu\) abbildet, gilt also: Die Anzahl der Schichten ist höchstens gleich dem Index \(j\) von \(f\).
Will man die Beiträge der einzelnen Schichten zu der Bedeckung von \(\xi\) berücksichtigen, so muß man zwischen “orientierbaren” und “nicht orientierbaren” Abbildungen unterscheiden. Eine Abbildung heißt nicht orientierbar, wenn es einen die Orientierung umkehrenden geschlossenen Weg in \(M\) gibt, dessen Bild in \(\mu\) zusammenziehbar ist; andernfalls heißt \(f\) orientierbar. Bei orientierbaren Abbildungen kann die Umgebung einer Schicht durch Fortsetzung einer willkürlichen Orientierung der Umgebung eines ihrer Punkte längs solcher Wege, deren Bilder zusammenziehbar sind, orientiert werden. Man kann dann solche Umgebungen der Schichten \(X_i\) finden, daß (bei willkürlich festgesetzter Orientierung) der Grad der durch \(f\) vermittelten Abbildung der Umgebung von \(X_i\) im Punkte \(\xi\) definiert ist; der (von der Orientierung unabhängige) absolute Betrag dieses Grades heißt der Beitrag \(a_i\) der Schicht \(X\). Ist \(f\) nicht orientierbar, so tritt zur Bestimmung des Beitrages der Schicht an Stelle des (nicht mehr definierten) Abbildungsgrades die Parität. Ist \(a_i\neq 0\), so heißt die Schicht \(X_i\) “wesentlich”. Die Summe der Schichtenbeiträge eines Punktes \(\xi\) heißt der Absolutgrad \(a\) der Abbildung \(f\) im Punkte \(\xi\).
Mit Hilfe der Zerlegung \(f=\varphi f^*\) ergibt sich, daß die Anzahl \(s\) der wesentlichen Schichten, ihre Beiträge \(a_1,a_2,\ldots,a_s\) und somit der Absolutgrad \(a\) konstant ist innerhalb eines Gebietes von \(\mu\), in dem \(f\) kompakt ist; ebenso bei stetiger Modifikation von \(f\) unter Wahrung der Kompaktheit im Punkte \(\xi\). Ist speziell \(f\) überall kompakt, so folgt (durch Anwendung dieses Ergebnisses auf \(f^*\)): Alle Schichtenbeiträge \(a_i\) sind gleich und unabhängig von der Wahl von \(\xi\); es gibt also entweder nur wesentliche oder nur unwesentliche Schichten. Wenn außerdem \(M\) und \(\mu\) orientierbar sind, so stimmt der Absolutgrad \(a\) mit dem absoluten Betrag \(|c|\) des Brouwerschen Abbildungsgrades überein (weil \(c\) sich nach der Produktregel für den Abbildungsgrad aus dem Grad von \(f^*\), der die Beiträge der Schichten bestimmt, in der Anzahl der wesentlichen Schichten, die durch \(\varphi\) auf \(\mu\) eineindeutig abgebildet werden, zusammensetzt). Ist bei überall kompakter Abbildung der Absolutgrad von Null verschieden, so muß der Index \(j\) der Abbildung endlich sein. \(a\) ist durch \(j\) teilbar, und \(\dfrac aj\) ist der konstante Schichtenbeitrag; ist \(a\neq 0\), so ist also \(j\) die Anzahl der wesentlichen Schichten.
\(\sigma_\xi\), \(\overline\sigma_\xi\) und \(\alpha_\xi\) bezeichnen jetzt die innerhalb der Abbildungsklasse erreichbaren Mindestzahlen der Originalpunkte von \(\xi\), der Komponenten der Originalmenge von \(\xi\) bzw. der (im geometrischen Sinne gezählten) glatten Bedeckungen einer Umgebung von \(\xi\). Alle diese Zahlen haben Invarianzeigenschaft innerhalb der schon mehrfach angegebenen Grenzen. Nach Definition ist \(\alpha_\xi\geqq\sigma_\xi\geqq\overline\sigma_\xi\geqq s_\xi\) wobei \(s_\xi\) die Anzahl der wesentlichen Schichten in \(\xi\) bezeichnet. Die Methode der stetigen Abänderung der Abbildung in einem Element unter Festhaltung der Randabbildung liefert zunächst \(\sigma_\xi=\overline\sigma_\xi\). Für \(n\neq 2\) gibt es in der Abbildungsklasse von \(f\) eine Abbildung, bei der jede wesentliche Schicht aus genau einem Punkt besteht und unwesentliche Schichten nicht auftreten: \(\sigma_\xi=s_\xi\). Verschärfung: man kann die genannte Eigenschaft in endlich vielen Punkten \(\xi_\nu\) gleichzeitig fordern. Ist speziell \(f\) überall kompakt (z. B. \(M\) geschlossen), so ist dabei \(\sigma_{\xi_\nu}=j\). Ferner gilt für \(n\neq 2\): Es gibt in der Klasse von \(f\) eine Abbildung, bei der eine Umgebung von \(\xi\) genau \(a_\xi\)-mal glatt bedeckt wird: \(\alpha_\xi=a_\xi\) (\(a_\xi\) = Absolutgrad im Punkte \(\xi\)). Natürlich gilt die Verschärfung für endlich viele \(\xi_\nu\) und allgemeiner: Ist \(f\) in den Gebieten \(G_k\) von \(\mu\) kompakt mit dem Absolutgrad \(a_k\), Abbildung, bei der in jeder \(K_k\) eine dort überall dichte offene Teilmenge genau \(a_k\)-mal glatt bedeckt wird. Speziell bei geschlossener \(M\): Ist \(f\) vom Absolutgrad \(a\), so gibt es in der Klasse von \(f\) eine Abbildung, bei der eine in \(\mu\) überall dichte offene Teilmenge von \(\mu\) genau \(a\)-mal glatt bedeckt wird (für \(a=0\): von der Bildmenge frei bleibt).
Über die Sonderstellung der Flächenabbildungen ist folgendes zu bemerken: Mit andern Methoden hat H. Kneser für geschlossene Flächen die Übereinstimmung der in der Klasse erreichbaren Mindestzahl der glatten Bedeckungen mit dem Betrage des Abbildungsgrades bzw. mit dem Absolutgrad bewiesen (Math. Ann. 100 (1928), 609-617; 103 (1930), 347-358; F. d. M. 54, 612; 56\(_{\text{II}}\)); die Bedingung der Geschlossenheit von \(\mu\) läßt sich noch beseitigen. Verf. zeigt an Beispielen: Bei nicht geschlossener \(M\) brauchen und sind die \(K_k\) in \(G_k\) kompakte Teilmengen der \(G_k\), so gibt es in der Klasse von \(f\) eine die Gleichungen \(\sigma_\xi=s_\xi\), \(\alpha_\xi=a_\xi\) im Falle \(n=2\) nicht zu gelten. Man kann ferner zu jedem \(j>4\) eine Klasse von Abbildungen der geschlossenen orientierbaren Fläche vom Geschlecht 2 auf die geschlossene orientierbare Fläche vom Geschlecht 1 angeben, für die \(\sigma>j=s\) ist. Beim Beweis dieses letzten Satzes ergibt sich allgemein eine obere Schranke für die Anzahl derjenigen Punkte, die bei einer Abbildung der geschlossenen orientierbaren Fläche \(F_p\) vom Geschlecht \(p\) auf eine \(F_q\) mit einem Grad vom Betrage \(|c|>1\) nur je einen Originalpunkt haben, und zwar: \(2p+2-2q\). Mehrdimensionale Verallgemeinerungen dieses Satzes bringt der erste Anhang, in dem – unter Beschränkung auf triangulierbare Mannigfaltigkeiten und simpliziale Abbildungen – die \((n-2)\)-dimensionale Bettische Zahl des Komplexes, auf dem eine Abbildung eineindeutig ist, abgeschätzt wird. Der zweite Anhang enthält eine Abschätzung nach oben für die Anzahl der (mit ihrer Vielfachheit gezählten) Windungspunkte bei Abbildungen geschlossener orientierbarer Flächen; die Schranke hängt vom Geschlecht der beiden Flächen und vom Betrage des Abbildungsgrades ab.

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References:
[1] Brouwer, Über Abbildung von Mannigfaltigkeiten, Math. Annalen71 (1911). · JFM 42.0417.01
[2] H. Kneser, Glättung von Flächenabbildungen, Math. Annalen100 (1928). · JFM 54.0612.01
[3] Brouwer, Über Jordansche Mannigfaltigkeiten, § 6, Math. Annalen71 (1911).
[4] Brouwer, Aufzählung der Abbildungsklassen endlichfach zusammenhängender Flächen, Math. Annalen82 (1921); besonders S. 284.
[5] H. Kneser, Die kleinste Bedeckungszahl innerhalb einer Klasse von Flächenabbildungen; erscheint in den Math. Annalen. · JFM 56.1130.02
[6] Brouwer, Beweis der Invarianz der Dimensionenzahl, Math. Annalen70 (1911). · JFM 42.0416.02
[7] J. Nielsen, Untersuchungen zur Topologie der geschlossenen zweiseitigen Flächen I, II. Acta mathematica50, 53 (1927, 1929). Man vergleiche besonders die Charakterisierung der Fixpunktklassen in I auf S. 289 unten. · JFM 53.0545.12
[8] Daß die Aufzählung der Gruppenhomomorphismen im allgemeinen (nämlich dann, wenn {\(\mu\)}’ nicht die Kugel oder die projektive Ebene ist) mit der Aufzählung der Abbildungsklassen identisch ist, geht aus der unter 5) genannten Arbeit von Brouwer (S. 286) hervor. Die unter 6) genannte Arbeit von Kneser enthält wichtige Beiträge zur Durchführung dieser Aufzählung.
[9] Dieser Paragraph, insbesondere sein erster Absatz, ist nur eine Zusammenstellung von Tatsachen, die ziemlich allgemein bekannt sein durften. – Literatur: Poincaré, Analysis Situs, §§ 12, 13, Journ. École Polytechn. (2)1 (1895). – Kerékjártó, Vorlesungen über Topologie (Berlin 1923), V. Abschn., § 2. – J. Nielsen, wie unter 9). – Reidemeister, Fundamentalgruppe und Überlagerungsräume, Nachr. Ges. d. Wiss. Göttingen, Math.-phys. Klasse, 1928. – Schreier, Die Verwandtschaft stetiger Gruppen im großen, § 1, Abhandl. Math. Sem. d. Hamburgischen Universität5 (1927). – Weyl, Die Idee der Riemannschen Fläche (Leipzig-Berlin 1913), § 9.
[10] Man ziehew 1 w 1 unter Festhaltung des Endpunktes vonw 1 auf diesen zusammen.
[11] Definition der ”Kompaktheit vonf in {\(\xi\)}”: Teil I, §4, S. 598.
[12] Bis hierher ist von den RäumenM und {\(\mu\)} nicht benutzt worden, daß sie Mannigfaltigkeiten, sondern nur, daß sie zusammenhängende, im Kleinen zusammenhängende, im Kleinen kompakte topologische Räume sind, in denen sich jeder hinreichend kleine geschlossen Weg zusammenziehen läßt. – Vpn nun an aber ist es wesentlich, daßM und {\(\mu\)} Mannigfaltigkeiten von der gleichen Dimensionszahln sind.
[13] Dabei sindu undu’ als Bilder einer festen Kreisliniek aufzufassen und die Entfernung zwischenu undu’ ist das Maximum der Entfernungen der beiden Bilder einesk durchlaufenden Punktes.
[14] Teil I, § 3.
[15] Teil I, § 5.
[16] Teil I, § 4.
[17] Folgt aus Teil I, § 1, Satz X, durch Anwendung aufk zueinander fremde Teilelemente vone.
[18] Teil I, § 4, Satz Ia.
[19] Teil I, § 1, Satz X.
[20] Teil I, § 4, Satz II.
[21] Teil I, § 1, Satz IX.
[22] Diese Möglichkeit der Erweiterung einer Abbildung folgt unmittelbar aus der Möglichkeit, den Definitionsbereich einer stetigen Funktion zu erweitern. Man vgl. Teil I, Fußnote, und die entsprechen de Stelle im Text.
[23] Teil I, § 2, Hilfssatz I.
[24] Teil I, § 1, Satz IXa.
[25] Deutet man die in einer Umgebung von {\(\xi\)} mit {\(\xi\)} als Nullpunkt eingefuhrten euklidischen Koordinaten der Bildpunkte als die Komponenten von Vektoren, die den Punkten vone zugeordnet sind, so ist die hier zu lösende Aufgabe identisch mit der Aufgabe, ein ine gegebenes Vektorfeld, das am Rande den Index 2c hat, durch eine Abänderung im Inneren vone durch ein anderes Vektorfeld, das dort genau zwei Nullstellen mit den Indexenc hat, zu ersetzen; diese ”Randwertaufgabe” ist lösbar; siehe H. Hopf, Abbildungsklassenn-dimensionale Mannigfaltigkeiten, § 5, Nr. 4, Math. Annalen96 (1926).
[26] Dies geschieht analog wie in Fußnote H. Hopf, Abbildungsklassenn-dimensionaler Mannigfaltigkeiten”, §5, Nr. 4, Math. Annalen96 (1926) angegeben.
[27] Zur Orientierung über die mit der ”Homologie” zusammenhängenden Begriffe und Sätze vgl. man: J. W. Alexander, Combinatorial Analysis Situs. Transact. Am. Math. Soc.28 (1926).
[28] H. Hopf, On some properties of one-valued transformations of manifolds, Satz Ia. Proc. of the Nat. Acad. of Sciences U.S.A.14 (1928). – Eine ausführliche Darstellung erscheint demnächst unter dem Titel ”Zur Algebra der Abbildungen von Mannigfaltigkeiten” im Journ. f. d. reine u. angew. Math. · JFM 54.0610.03
[29] Um den Gegensatz zu dem Wortlaut dieser Sätze vollständig zu machen, hat man die im Text angegebene Abbildung noch durch eine simpliziale Abbildung mit denselben Eigenschaften zu ersetzen, was aber infolge des analytischen Charakters der Abbildung keine Schwierigkeit macht.
[30] Pontrjagin, Zum Alexanderschen Dualitätssatz, Zweite Mitteilung, Satz Ia. Nachr. d. Ges. d. Wiss. zu Göttingen, Math.-Phys. Klasse (1927). Dort ist der Satz für ”Homologien mod 2” bewiesen; der Beweis für gewöhnliche Homologien ist mir aus einer Note von Pontrjagin bekannt, die demnächst veröffentlicht werden dürfte. – In engem Zusammenhang damit stehen die folgenden Arbeiten: van Kampen, Eine Verallgemeinerung des Alexanderschen Dualitätssatzes. Koninkl. Akad. van Wetenschappen te Amsterdam Proc.31 (1928), und: Die kombinatorische Topologie und die Dualitätssätze, Diss. Leiden 1929. – Lefschetz, Closed point sets on a manifold. Annals of Math.29 (1928), sowie die dort zitierten Noten in den Proc. Nat. Acad. (1927).
[31] Kerékjártó, Vorlesungen uber Topologie (Berlin 1923), S. 160.
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