Ein Beweis des Fixpunktsatzes für \(n\)-dimensionale Simplexe. (German) JFM 55.0972.01

Knaster, B.; Kuratowski, C.; Mazurkiewicz, S.

Fundamenta 14, 132-137 (1929).

Die Verf. beweisen zunächst den folgenden kombinatorischen Hilfssatz: Ist ein Simplex \(S\) mit den Ecken \(p_0,p_1,\ldots,p_n\) simplizial zerlegt und jedem Eckpunkt \(e\) der Zerlegung eine Zahl \(\nu(e)\) aus der Folge \(0,1,\ldots,n\) zugeordnet, und zwar so, daß einer Ecke, die auf einer \(k\)-dimenionalen Seite \(p_{i_0}p_{i_1}\ldots p_{i_k}\) von \(S\) liegt, eine der Zahlen \(i_0,i_1,\ldots,i_k\) zugeordnet wird, so gibt es unter den Teilsimplices der Zerlegung eine ungerade Anzahl von Simplices, deren Ecken die Zahlen \(0,1,\ldots,n\) zugeordnet sind.
Daraus folgt weiter ein Satz, der den Spernerschen Hilfssatz beim Beweis des Satzes von der Invarianz der Dimensionszahl als Folgerung ergibt: \(A_0,A_1, \ldots,A_n\) seien abgeschlossene Mengen von der Art, daß jedes \(k\)-dimensionale (\(0\leqq k\leqq n\)) Simplex \(p_{i_0}p_{i_1}\ldots p_{i_k}\) in der Summe \(A_{i_0}+ A_{i_1}+\cdots+A_{i_k}\) enthalten ist; dann ist der Durchschnitt \(A_0A_1\cdots A_n\) nicht leer.
Hat man jetzt eine stetige Abbildung eines Simplex auf einen (echten oder unechten) Teil von sich, so erhält man Mengen \(A_0,A_1,\dots,A_n\), auf die der obige Satz anwendbar ist, durch folgende Festsetzung: Die Menge \(A_i\) besteht aus allen denjenigen Punkten des Simplex, deren \(i\)-te baryzentrische Koordinate mindestens gleich der \(i\)-ten baryzentrischen Koordinate des Bildpunktes ist. Da die Summe der baryzenzentrischen Koordinaten konstant ist, muß ein Punkt des Durchschnitts der \(A_i\) Fixpunkt sein.

Reviewer: Pannwitz, Dr. Erika (Berlin)

JFM Section:

Zweiter Halbband. Fünfter Abschnitt. Geometrie. Kapitel 2. Topologie.