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Topologische Begründung des Kalküls der abzählenden Geometrie. (German) JFM 55.0992.01

Verf. stellt in der vorliegenden Abhandlung den Schubertschen Abzählungskalkül (1879; F. d. M. 11, 460-462) mit den Hilfsmitteln der kombinatorischen Topologie auf eine exakte Grundlage.
Zunächst wird die Theorie der Schnitte orientierter Komplexe im Anschluß an Lefschetz entwickelt. Verf. beweist hier einen neuen Satz, der sich auf die Unabhängigkeit des approximativen Schnittkomplexes von der Approximation bezieht; ferner ergibt sich die Theorie des Brouwerschen Abbildungsgrades als Spezialfall der allgegemeinen Schnittpunktbetrachtungen. Der fundamentale Begriff ist hier der Begriff des Schnittpunktsindex, der später als Mulitiplizitätsbegriff bei den algebraisch-geometrischen Betrachtungen dient.
Verf. geht dann zu allgemeineren, analytischen Komplexen über. Ein analytischer Komplex von \(r\) komplexen Dimensionen ist ein orientierbarer, differenzierbarer Komplex von \(2r\) Dimensionen. Als Hauptresultat der Abhandlung wird der Satz bewiesen, daß die Schnittpunktsindices analytischer, also insbesondere auch algebraischer Mannigfaltigkeiten im komplexen Gebiet stets positiv sind. Die Summe der Indices genügt ferner dem “Prinzip der Erhaltung der Anzahl” bei stetiger Änderung der schneidenden Mannigfaltigkeiten, und die Indices “einfacher” Schnittpunkte haben den Wert 1.
Für algebraische Mannigfaltigkeiten im komplexen projektiven Raum ergibt sich die Übereinstimmung dieses topologischen Indexbegriffs mit dem in früheren Arbeiten des Verf. (1927, 1928; F. d. M. 53, 103; 54, 141) mit Hilfe idealtheoretischer Methoden exakt präzisierten algebraischen Multiplizitätsbegriff. Verf. beweist ferner, daß die Indexsumme oder Schnittpunktzahl nur von den Homologieklassen der schneidenden Mannigfaltigkeiten abhängt. Damit ist die Möglichkeit gegeben, die Probleme der abzählenden Geometrie mit den Hilfsmitteln der kombinatorischen Topologie zu untersuchen. Jede Homologierelation zwischen algebraischen Mannigfaltigkeiten liefert eine symbolische Gleichung im Schubertschen Sinne. Man darf diese Gleichungen addieren, subtrahieren, mit rationalen Zahlen multiplizieren, man darf diese Gleichungen aber auch mit dem Symbol einer Bedingung multiplizieren, wobei diese Multiplikation in der topologischen Bedeutung von Schnittbildung zu verstehen ist. Aus der Existenz einer endlichen Basis für die Homologien in einer geschlossenen Mannigfaltigkeit folgt die Lösung des Schubertschen Charakteristikenproblems. Als Anwendung auf den komplexen projektiven Raum wird der “verallgemeinerte Bézoutsche Satz” bewiesen. (V 2.)

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References:

[1] D. Hilbert, Mathematische Probleme, Gött. Nachr. 1900, S. 253.
[2] B. L. v. d. Waerder, Diss. Amsterdam 1926. Der Multiplizitätsbegriff der algebraischen Geometrie, Math. Annalen97 (1927), S. 756 (zitiert W1). Eine Verallgemeinerung des Bézoutschen Theorems, Math. Annalen99 (1928), S. 497 (zitiert W2). On Hilbert’s function etc., Proc. Kon. Ak. Amsterdam31 (1928), S. 749. · JFM 53.0103.02
[3] H. Schubert, Kalkül der abzählenden Geometrie, Leipzig 1879. · JFM 11.0460.01
[4] Da das WortMannigfaltigkeit in dieser Arbeit, dem topologischen Sprachgebrauch entsprechend, fürsingularitätenfreie Räume reserviert bleibt, werde ich fur die durch algebraische Gleichungen definierten Punktmengen das französische Wort ”Variedäten” gebrauchen.
[5] Für Literatur siehe W2, Einleitung.
[6] W2, Einleitung und § 11.
[7] W2.
[8] H. G. Zeuthen, Abzählende Methoden (Leipzig 1914); Enzyklopädie III, 3.
[9] Halphen, Comptes Rendus (4. Sept. 1876).
[10] S. Lefschetz, Trans. Am. Math. Soc.28 (1926), S. 1 (zitiert L1).
[11] S. Lefschetz, L’analysis situs et la géométrie algébrique, Paris 1924. · JFM 50.0663.01
[12] loc. cit. 11), S. Lefschetz, L’analysis situs et la géométrie algébrique, Paris 1924. S. 19. Lefschetz schließt aus den Eigenschaften 1., 2. auf die (zur Positivität verschärfte) Eigenschaft 3. mit der Begründung, man könne durch eine kleine Verschiebung immer die unter 2. vorausgesetzte Situation herstellen. Die Begründung scheint in dieser Form ungenügend, denn bei der Verschiebung könnten ja Schnittpunkte in Wegfall kommen. Erst die genauere Betrachtung von § 5 wird lehren, daß dieses tatsächlich nicht vorkommen kann.
[13] Etwa: O., Veblen, The Cambridge Colloquium Lectures, Cambridge (mass.) 1922. Oder Hadmards Note zu J. Tannery, Introduction à la, théorie des fonctions II, zu ergänzen durch J. W. Alexanders Proof of the Invariance of certain Numbers, Proc. Am. Math. Soc.16, (1915), p. 148.
[14] Gebiet heißt hier eine jede offene Menge des RaumesR n .
[15] L. E. J. Brouwer, Über Abbildungen von Mannigfaltigkeiten, Math. Annalen71 (1911), S. 97–115. · JFM 42.0417.01
[16] L1 S. 21–26.
[17] Entsprechendes gilt für isolierte Schnittpunkte von drei oder mehr differenzierbaren Komplexen.
[18] O. Blumenthal, Zum Eliminationsproblem bei analytischen Funktionen mehrere Veränderlicher, Math. Annalen57 (1903), S. 356. · JFM 34.0194.03
[19] Um diese Definition anwenden zu können, beschränke man sich jeweils auf einen ganz im Endlichen gelegenen Teil der KomplexeV {\(\tau\)} bzw.V s .
[20] Zusatz bei der Korrektur. Inzwischen ist die Dissertation von E. R. van Kampen (”Die kombinatorische Topologie und die Dualitätssätze”, Leiden 1929) erschienen, in der die erwähnte Lucke ausgefullt ist. Dort werden nämlich die Schmittpunktszahlen definiert und ihre Eigenschaften bewiesen für triangulierbare ”manningfaltigkeiten” in eimen sehr allgemeinen Sinn, unter die unter anderem alle oben definierten ”topologischen Mannigfaltigkeiten” fallen, soweit sie triangulierbar sind. Für die algebraische Anwendung reicht das völlig hin denn alle algebraischen Mannigfaltigkeiten sind triangulierbar (Anbhang 1).
[21] Bei nichtisolierten Schnittpunkten können aber die Schnittpunktszahlen sehr wohl negativ sein, wie das folgende Beispiel zeigt: Durch einen KegelschnittK im komplexen projektivenR 3 werde eine singularitätenfreie Fläche 5. OrdnungF gelegt. Die Ebene des Kegelschnittes schneidet die Flächen außerdem in einer kubischen KurveC. Die Schnittpunktszahl vonK mit jedem ebenen Schnitt vonF aufF, also insbesondere mitK+C, ist +2, die vonK mitC aber +6, also bleibt für die Schnittpunktszahl vonK mitK nur übrig.
[22] Der untere Indexn soll die algebraische oder analytische Dimensionszahl darstellen; die topologische Dimensionszahl ist doppelt so groß und wird als oberer Index benutzt.
[23] Algebraisch kann man auch diese Multiplizitäten noch definieren im Fall des projektiven Raums, indem man die VarietätenV r ,V S ,V mit einem allgemeinen linearen RaumL r–k schneidet und dort die Schnittpunktsmultiplizitäten bestimmt.
[24] O. Blumenthal,loc. cit.. · JFM 34.0194.03
[25] H. Schubert, Kalkül der abzählenden Geometrie, Leipzig 1879. · JFM 11.0460.01
[26] Schubert schreibt=, wo hier=steht.
[27] Nach dem in Fußnote 25) angeführten Satz, macht es keinen wirklichen Unterschied, ob man dies verlangt oder nicht.
[28] Vgl. G. Mannoury, Surfaces-images, Nieuw Archief von Wiskunde (2)4 (1898), P. 112.
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