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Proprietà differenziali delle curve in uno spazio a connessione lineare generale. (Italian) JFM 55.1034.01

In dieser und einer folgenden Arbeit (vgl. das folgende Referat) stellt Verf. eine systematische Untersuchung der Kurven einer \(L_n\), d. h. einer \(n\)-dimensionalen Mannigfaltigkeit mit allgemeinem linearem Zusammenhang, dar. Diese Untersuchung ist zugleich eine Verallgemeinerung der klassischen Untersuchungen, die sich auf die Kurven in einer Riemannschen \(V_n\) beziehen, und der von Blaschke und Winternitz für die Kurven eines affinen \(E_2\) und \(E_3\) (vgl. W. Blaschke, Vorlesungen über Differentialgeometrie, II (1923); F. d. M. 49, 499 (JFM 49.0499.*)-501). In der vorliegenden Arbeit führt Verf. vor allem den Begriff der ”affinen Bogenlänge” einer Kurve \(C\) der \(L_n\) ein: den bis auf eine ganze lineare Transformation (d. h. bis auf die willkürliche Wahl eines Anfangspunktes, eines positiven Sinnes und einer Längeneinheit) bestimmten Parameter \[ s=c \int\limits _{t_0}^t \Bigl(\frac {\omega }{\gamma }\Bigr)^{\frac {2}{n(n+1)}}\,dt, \] wobei, wenn \(\xi ^\nu =\xi ^\nu (t)\) eine Parameterdarstellung von \(C\) in \(L_n\) ist, \(\omega \) die Determinante der \(v_1^\nu =\dfrac {d\xi ^\nu}{dt}\) und ihrer (absoluten, in \(V_n\) gebildeten) Ableitungen 1-, 2-, \(\ldots,(n-1)\)-ter Ordnung nach dem Parameter \(t\) ist und \(\gamma =e^{-I}\) gesetzt wird, mit \( I=\int \limits _{t_0}^t \varGamma _{\alpha\mu }^\alpha \dfrac {d\xi ^\mu}{dt}\,dt\), wobei schließlich \(\varGamma _{\mu\nu }^\lambda \) die Parameter des affinen Zusammenhangs in \(L_n\) sind. (Natürlich gilt diese Definition für \(\omega \neq 0\); aber Verf. behandelt dann auch den Fall \(\omega = 0\) und definiert auch für diesen Fall eine “affine Bogenlänge”.) Wird \(\boldsymbol l_1 =\boldsymbol v_1\): \(\dfrac {ds}{dt}\) gesetzt, und bezeichnen \(\boldsymbol l_2, \boldsymbol l_3,\ldots, \boldsymbol l_n\) die sukzessiven Ableitungen von \(\boldsymbol l_1\) “längs \(C\)” nach der affinen Bogenlänge, so nennt Verf. \(\boldsymbol l_1, \boldsymbol l_2,\ldots, \boldsymbol l_n\) die Hauptvektoren (vettori principali) von \(C\) in einem Punkt. Der Ableitungsvektor von \(\boldsymbol l_n\) drückt sich linear durch \(\boldsymbol l_1, \boldsymbol l_2,\ldots, \boldsymbol l_{n-1}\) aus, mit Koeffizienten, die Verf. die “Affinkrümmungen” von \(C\) nennt. In naheliegender Weise ergibt sich eine Gruppe von verallgemeinerten “Frenetschen Formeln”, mit deren Hilfe Verf. folgenden Satz erhält: Es gibt eine und nur eine Kurve durch einen gegebenen Punkt der \(L_n\), die dort ein gegebenes \(n\)-tupel von (unabhängigen) Vektoren als Hauptvektoren und \((n - 1)\) gegebene (reguläre) Funktionen von s als Ausdrücke der Affinkrümmungen durch die affine Bogenlänge hat. Für den Fall, daß die \(L_n\) eine Riemannsche \(V_n\) ist, findet Verf. eine interessante Beziehung zwischen der Affinbogenlänge und der metrischen Bogenlänge. Indem Verf. sich wieder allgemeineren Voraussetzungen über den Zusammenhang der \(L_n\) zuwendet, sich aber auf den Fall \(n=3\) beschränkt, verallgemeinert er Resultate von Winternitz und stellt (unter Benutzung seiner “geodätischen Koordinaten beliebiger Ordnung”) für eine Kurve der \(L_n\) interessante “kanonische” Entwicklungen in der Umgebung eines Punktes der Kurve auf. Er beschäftigt sich dann, wie schon angedeutet wurde, mit dem Fall \(\omega =0\), auf den er alle wichtigen Resultate, die er für den allgemeinen Fall erhalten hat, überträgt.

Citations:

JFM 49.0499.*
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References:

[1] Cfr.T. Levi-Civita,The absolute differential calculus (London and Glasgow, Blackie, 1927), p. 139.
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