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Rollkurven im Raume. (German) JFM 55.1044.02

Im Bestreben, den Begriff “Rollkurve” von den historischen Fesseln der Bewegungsgeometrie zu befreien, den “Rollprozeß” vermöge einer beliebigen kontinuierlichen Transformationsgruppe zu beschreiben, hatte Verf. bereits früher mehrere Fälle ebener “verallgemeinerter Rollkurven” behandelt (vgl. die folgenden Referate). Nunmehr wird die Behandlung des analogen räumlichen Problems begonnen. Man kann da zunächst die Bewegungsgruppe beibehalten, sofern z. B. schon das räumliche Analogon einer Epizykloide noch keinerlei Darstellung erfahren hatte. Allgemein zeigt sich die Theorie räumlicher Rollkurven verschieden, je nachdem es sich um Gruppen mit ungerader oder gerader Parameterzahl handelt. Dementsprechend behandelt Verf. als einfachste typische Beispiele “Rollkurven” der äquiformen und der bewegungsinvarianten Raumgeometrie. Verf. beginnt mit der Diskussion der äquiformen Gruppe des Raumes und ihrer Einwirkung auf die “Kurvenobjekte” mit Benutzung der geläufigen Hilfsmittel der Lieschen Gruppentheorie und der ”natürlichen” Geometrie. Bekanntlich gibt es auch hier zwei Kurvendifferentialinvarianten, welche längs “Bahnkurven” der Gruppe konstante Werte behalten. Für die so definierten Bahnkurven läßt sich eine explizite Parameterdarstellung gewinnen: Man erhält die achtparametrige Schar der zylindrokonischen Schraubenlinien des Raumes, welche das räumliche Seitenstück der logarithmischen Spiralen der Ebene bilden.
Wie werden nun die räumlichen äquiformen Rollkurven definiert? Verf. denkt sich durch ein nichtsinguläres “Anfangskurvenelement” (\(e_0\)) zwei Kurven \(\mathfrak K_1\) und \(\mathfrak K_2\) gelegt und auf diesen, vom Element (\(e_0\)) angefangen, nach derselben Seite den gleichen “Äquiformbogen” \(s\) abgetragen; dadurch ergeben sich zwei Stellen auf \(\mathfrak K_1\) und \(\mathfrak K_2\), welche die Elemente (\(e_1\)) und (\(e_2\)) tragen. So werden die Kurven äquiformbogentreu aufeinander bezogen. Bezeichnet jetzt \(P_0\) einen beliebigen Punkt, \(T_{e_1}^{e_2}\) die Gesamtheit der äquiformen Transformationen, welche den verschiedenen Werten von \(s\) entsprechen, so ist der Ort der Punkte \(P\) \[ P=(P_0)\,T_{e_1}^{e_2} \text{ \;\;bzw. \;\;} P=(P_0)\,T_{e_1}^{e_0}T_{e_0}^{e_2} \] eine äquiforme Rollkurve im Raume. Es gelingt nun, in dem Falle, daß die Kurven \(\mathfrak K_1\) und \(\mathfrak K_2\) als zylindrokonische Bahnkurven der Gruppe gewählt werden, aus der symbolischen Definition eine Parameterdarstellung der äquiformen “Epizykloiden” abzuleiten. Als typischen Repräsentanten einer Gruppe gerader Parameterzahl wählt Verf. die Bewegungsgruppe des euklidischen Raumes. Hier ist eine Kennzeichnung der Transformationen der Gruppe durch Verwendung irgendwelcher Kurvenelemente als geometrischer Parameter unmöglich. An ihre Stelle treten die sogenannten “gestrichelten” Flächenelemente, d.h. die aus einem Kurvenpunkt \(P\), einer durch ihn hindurchgehenden Gerade \(\mathfrak g\) und einer durch \(\mathfrak g\) hindurchgehenden Ebene \(\varepsilon \) bestehende Figur \(E\), welche in eine Nachbarfigur \(E'\) in der Umgebung der Identität vermöge einer einzigen Bewegung \(\mathfrak B_E^{E'}\) überführbar ist. Die gestrichelten Flächenelemente einer Kurve bilden längs dieser einen Flächenstreifen, wenn \(\mathfrak g\) stets Kurventangente, und insbesondere einen Schmiegstreifen, wenn \(s\) stets Kurvenschmiegebene bleibt. Ist nun \(E_0\) gemeinsames gestricheltes Flächenelement zweier Schmiegstreifen \(\mathfrak S_1\) und \(\mathfrak S_2\), so berühren sich die “Punktorte” \(\mathfrak K_1\) und \(\mathfrak K_2\) an der Stelle \(E_0\) und haben dort eine gemeinsame Schmiegebene. Analog wie früher wird nun auf \(\mathfrak K_1\) und \(\mathfrak K_2\), ausgehend von \(E_0\), nach derselben Seite der Bogen \(s\) abgetragen, wodurch die Elemente \(E_1\) und \(E_2\) erhalten werden. Sind dann \(\mathfrak B_{E_0}^{E_1}\) und \(\mathfrak B_{E_0}^{E_2}\) die in der Umgebung der Indentität eindeutig bestimmten Bewegungen, welche \(E_0\) in \(E_1\) bzw. \(E_2\) überführen, so definiert wiederum der Punktort \[ P=P(0)\,\mathfrak B_{E_1}^{E_0}\mathfrak B_{E_0}^{E_2} \] die Rollkurve, welche der mit \(\mathfrak S_1\) fest verbundene Punkt \(P_0\) bei Abrollen von \(\mathfrak S_1\) auf \(\mathfrak S_2\) beschreibt. Um die symbolische Gleichung zu realisieren, hat man das begleitende Dreibein der Raumkurve, Frenets Formeln, Relativkoordinaten und Cesàros Unbeweglichkeitsbedingungen zu benutzen. Sind \(\mathfrak K_1\) und \(\mathfrak K_2\) Bahnkurven der Gruppe (also gemeine Schraubenlinien mit konstanter Krümmung und Torsion), so vereinfacht sich die Integration der Cesàroschen Bedingungen wesentlich, und es gelingt wiederum, eine Parameterdarstellung räumlicher Epizykloiden zu gewinnen. (IV 8.)
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