Problèmes d’extremums relatifs aux courbes convexes. I. (French) JFM 55.1071.01

Favard, J.

Annales Ecole norm. (3) 46, 345-369 (1929).

Die Arbeit beschäftigt sich, mit Extremalproblemen der folgenden Art: Sei \(L\) die Länge, \(S\) der Flächeninhalt einer ebenen konvexen Kurve, \(f(L,\sqrt S)\) eine homogene Funktion, die in \(L\) monoton nicht abnehmend und in \(S\) monoton nicht zunehmend ist. Es ist das Maximum von \(f\) unter Kurven einer gewissen Klasse zu suchen. Das entsprechende Minimumproblem ist schon vielfach behandelt. Z. B. gehört das isoperimetrische Problem dazu.
Die untersuchten Kurvenklassen sind die folgenden:
(1) Der von Bonnesen eingeführte, schmälste konzentrische Kreisring, der die Kurve enthält, ist gegeben.
(2) Der umbeschriebene Kreis ist gegeben.
(3) Ein Streifen, der von zwei parallelen Stützgeraden begrenzt wird, ist gegeben.
Im Fall (1) wird die Aufgabe gelöst, \(\dfrac{L^2}S\) zum Maximum zu machen. Die Lösungskurve ist ein dem äußeren Randkreis einbeschriebenes Polygon, dessen Seiten mit höchstens einer Ausnahme den inneren Randkreis berühren. Im Fall (2) wird die Aufgabe behandelt, \(L\) zum Maximum zu machen, wenn (außer dem Umkreis) der Flächeninhalt in passender Weise vorgegeben ist. Hier ist die Lösung ein dem gegebenen Kreis eingeschriebenes Polygon, dessen Seiten mit höchstens einer Ausnahme einander gleich sind. Die Eckenzahl des Polygons bestimmt sich aus dem gegebenen Umkreisradius und dem gegebenen Flächeninhalt. Im Fall (3) wird sehr einfach das Maximum von \(Ld-4S\) bestimmt, wo \(d\) die Breite des gegebenen Streifens bezeichnet. Ferner werden einige verwandte Ungleichungen, darunter eine von Kubota herrührende, bewiesen. Haupthilfsmittel beim Beweis ist der folgende Satz: Es sei ein Dreieck \(ABC\) mit \(\sphericalangle B\leqq \sphericalangle C\) gegeben. Unter allen konvexen Bögen, die \(B\) und \(C\) verbinden, im Dreieck verlaufen und mit \(BC\) einen gegebenen Flächeninhalt umschließen, ist der Streckenzug \(BMC\) der längste, wo \(M\) in passender Entfernung von \(C\) auf \(AC\) liegt. Dies wird mit einem der “Schüttelung” von Eibereichen (Th. Biehl, Abhandlungen Hamburg 2 (1923), 69-70; F. d. M. 49, 532) ähnlichen Verfahren bewiesen. (IV 15.)

Reviewer: Fenchel, Dr. W. (Kopenhagen)

JFM Section:

Zweiter Halbband. Fünfter Abschnitt. Geometrie. Kapitel 6. Differentialgeometrie. D. Konvexe Punktmengen.