×

zbMATH — the first resource for mathematics

Sur la condition de Thom stricte pour un morphisme analytique complexe. (French) Zbl 0551.32012
Soit \(f\) un germe de morphisme analytique, de \(X\) dans \(S\), on cherche à stratifier \(f\), c’est à dire à décomposer \(X\) en une réunion disjointe de sous-variétés lisses ou strates, sur lesquelles \(f\) est de rang constant, vérifiant la condition de frontière et satisfaisant des conditions de régularité pour les couples de strates adjacentes. Dans la littérature on trouve au moins trois grands types de conditions de régularité:
(1) Différentielles (à la Thom-Whitney): Conditions a et b de Whitney, condition \(w\) de Verdier, condition de Kuo... Condition \(A_ f\) de Thom pour un morphisme \(f\) de \(X\) dans \(S\), et ses variantes \(W_ f\) (Navarro). - (2) Algébriques (à la Hironaka): Au voisinage d’un point de W, et pour chaque couple de strates adjacentes \(W\) et \(X\) (telles que W est contenue dans l’adhérence \(Z\) de \(X\)) on construit au dessus de \(Z\) un espace \(R(f,W)\) dans lequel l’image inverse de \(W\) est un diviseur \(D\). On dira que \(X\) est \(R\)-régulière le long de \(W\) si \(D\) est ouvert au dessus de \(W\). - Remarque: Ainsi définie, une condition de régularité est évidement stratifiante, i.e. pour tout fermé analytique \(F\) dans \(Z\), il existe un ouvert analytique \(U\) de \(f\), tel que \(Z\) soit \(R\)-régulière le long de \(U\). - (3) Numériques: On impose la constance d’un ou plusieurs invariants numériques locaux de \(Z\) (ou de \(f\)) le long de W lisse.
Dans cet article les AA. prouvent un théorème de comparaison: Ils établissent des implications entre des conditions du premier, du second et du troisième type, ce qui généralise au cas d’un morphisme des résultats de Teissier et Henry-Merle.

MSC:
32S60 Stratifications; constructible sheaves; intersection cohomology (complex-analytic aspects)
32S05 Local complex singularities
32B10 Germs of analytic sets, local parametrization
57N80 Stratifications in topological manifolds
14B05 Singularities in algebraic geometry
32S45 Modifications; resolution of singularities (complex-analytic aspects)
PDF BibTeX XML Cite
Full Text: DOI Numdam EuDML
References:
[1] J. BRIANÇON et J. P. SPEDER , Thèse (Familles équisingulières d’hypersurfaces à singularités isolées, Nice, 1976 ).
[2] J. P. HENRY et M. MERLE , Limites d’espaces tangents et transversalité de variétés polaires (Actes de la Conférence sur les singularités de la Rabida, Springer, Lecture Notes, n^\circ 961). MR 85d:32014 | Zbl 0507.32005 · Zbl 0507.32005
[3] J. P. HENRY et M. MERLE , Limites de Normales, conditions de Whitney et éclatement d’Hironaka (Proc. A.M.S. Summer Institute on singularities, Arcata, 1981 ). Zbl 0554.32010 · Zbl 0554.32010
[4] H. HIRONAKA , Normal Cones in Analytic Whitney Stratifications (Publ. Math. I.H.E.S., n^\circ 36, P.U.F., 1970 ). Numdam | Zbl 0219.57022 · Zbl 0219.57022
[5] H. HIRONAKA , Stratifications and Flatness , in Real and Complex Singularities (Nordic Summer School, Oslo, 1976 ; Sijthoff and Noordhoff, 1977 ). Zbl 0424.32004 · Zbl 0424.32004
[6] H. HIRONAKA , Equivalences and Deformations of Isolated Singularities (Woodshole Seminar in Algebraic Geometry, 1964 ).
[7] S. KLEIMAN , On the Transversality of a General Translate , Compositio Math., 28, 1974 , p. 287-297. Numdam | MR 50 #13063 | Zbl 0288.14014 · Zbl 0288.14014
[8] S. KLEIMAN , Towards a Numerical Theory of Ampleness , (Annals of Math., 84, 1966 ). MR 34 #5834 | Zbl 0146.17001 · Zbl 0146.17001
[9] D. T. LÊ , Calcul du nombre de cycles évanouissants d’une hypersurface complexe (Ann. Inst. Fourier, 23, 1973 , p. 261-270). Numdam | MR 48 #8838 | Zbl 0293.32013 · Zbl 0293.32013
[10] D. T. LÊ , Limites d’espaces tangents sur les surfaces (Proc. Conf. Reinhartsbrunn, Nova Acta Leopoldina, 1980 ). Zbl 0495.14022 · Zbl 0495.14022
[11] D. T. LÊ et K. SAITO , La constance du nombre de Milnor donne des bonnes stratifications (Note aux C.R.A.S., 277, 22 octobre 1973 , p. 793-795). MR 50 #2556 | Zbl 0283.32007 · Zbl 0283.32007
[12] D. T. LÊ et B. TEISSIER , Variétés polaires locales et classes de Chern des variétés singulières (Annals of Math., 114, 1981 , p. 457-491). MR 83k:32012a | Zbl 0488.32004 · Zbl 0488.32004
[13] J. LIPMAN , Reduction, Blowing up and Multiplicities (Preprint Purdue University 1980 , à paraître dans Proc. Conf. on Transcendantal Methods in Commutative Algebra, George Mason, University 1979 ).
[14] V. NAVARRO , Conditions de Whitney et sections planes (Inventiones Math., 61, n^\circ 3, 1980 , p. 199-226). MR 82h:32019 | Zbl 0449.32013 · Zbl 0449.32013
[15] V. NAVARRO , Stratifications régulières et variétés polaires locales (Manuscrit 1981 ).
[16] J. P. SPEDER , Thèse , partie A, Université de Nice, 1976 .
[17] C. SABBAH , Morphismes analytiques stratifiés sans éclatement et cycles évanescents (Note aux C.R.A.S., 294, 4 janvier 1982 , p. 39-41). MR 83j:32016 | Zbl 0495.32005 · Zbl 0495.32005
[18] C. SABBAH , Idem Topologie et Analyse sur les espaces singuliers , Luminy, 1981 (Astérisque n^\circ 100-101).
[19] B. TEISSIER , The Hunting of Invariants in the Geometry of the Discriminant , in Real and Complex Singularities, Nordic Summer School, Oslo, 1976 . Zbl 0388.32010 · Zbl 0388.32010
[20] B. TEISSIER , Variétés polaires II (Actes de la Conférence de La Rabida, Springer, Lecture Notes, n^\circ 961). · Zbl 0572.14002
[21] B. TEISSIER , Cycles évanescents, sections planes et conditions de Whitney (Singularités à Cargèse, 1972 ; Astérisque, n^\circ 7-8, 1973 ). Zbl 0295.14003 · Zbl 0295.14003
[22] J. L. VERDIER , Stratifications de Whitney et théorème de Bertini-Sard (Inventiones Math., 36, 1976 , p. 295-312). MR 58 #1242 | Zbl 0333.32010 · Zbl 0333.32010
This reference list is based on information provided by the publisher or from digital mathematics libraries. Its items are heuristically matched to zbMATH identifiers and may contain data conversion errors. It attempts to reflect the references listed in the original paper as accurately as possible without claiming the completeness or perfect precision of the matching.