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Neue Grundlagen der Logik und Mathematik. II. (German) JFM 56.0047.03

Seit Sheffer die Fundamentalbegriffe des Aussagenkalküls durch Einführung seines \(p\mid q\) (lies “weder \(p\) noch \(q\)”) auf einen einzigen reduzierte, haben sich verschiedene Logiker bemüht, auch im Gesamtgebiet der Logik mit möglichst wenig Grundbegriffen auszukommen und so heterogene Begriffe wie das “alle” oder “es gibt”, das Zutreffen eines Subjekts auf ein Prädikat, die Aussagefunktionen möglichst aus ein und derselben Fundamentalfunktion abzuleiten. Soviel dem Referenten bekannt, ist das zuerst in der Arbeit von M. Schönfinkel [,,Über die Bausteine der mathematischen Logik.” Math. Ann. 92, 305–316 (1924; JFM 50.0023.01)], versucht worden.
Auch die vorliegenden Arbeiten des Verf. bewegen sich in dieser Richtung. Das Interessante ist hier, daß nicht nur der logische Kalkül, sondern auch die elementare Semantik, die natürlich formalisiert wird, aus einer einzigen Fundamentalfunktion gewonnen wird. Diese Fundamentalfunktion hat beim Verf. die Gestalt \(* EFGHI\), hat also fünf Variable. \(* cpccq\) bedeutet z. B. das Sheffersche \(p/q\), \(*x*cfaxqxx*cfaxq\) entspricht \((\overline{x}) \cdot f_a \cdot \{\overline{x}\}\cdot q\). Dagegen stellen \(*cEccc\) und \(*cccEc\) zwei Aussagen der Semantik dar; die erste hat den Sinn “\(E\) ist ein eigentlicher Satz”, die zweite “\(E\) ist ein semantischer Satz”. \(c\) ist dabei eine Konstante, über deren Bedeutung nichts weiter gesagt zu werden braucht. Es gelingt nun dem Verf., die in seiner “Theory of constructive types” [Ann. Soc. Pol. Math. 2, 9–48 (1923; JFM 49.0139.01); (1924; JFM 50.0028.04) und ibid. 3, 92–141 (1925; JFM 51.0048.03)] gegebenen umfangreichen semantischen Regeln hier auf bloße Bezeichnungsregeln von Buchstaben und Ausdrücken zurückzuführen und dadurch zu einer weitgehenden Vereinfachung seiner in dem erwähnten Werke dargelegten Ideen zur Grundlegung der Logik und Mathematik zu gelangen.
Noch aus einem anderen Grunde sind die drei Arbeiten bemerkenswert, nämlich durch den Gegensatz, in dem sie zu den gegenwärtigen Bestrebungen der Russellschen Schule stehen. Der Differenzpunkt ist hier das Axiom der Reduzierbarkeit. Russell und Whitehead hatten mit diesem Axiom ihren ursprünglichen halbintuitiven Standpunkt, der sich Poincaréschen Ideen näherte, und für den die verzweigte Typentheorie charakteristisch ist, eigentlich durchbrochen. So ist es denn auch konsequent, wenn Russell und Whitehead in der Vorrede zur zweiten Auflage der ,,Principia Mathematica” unter dem Einfluß der Wittgensteinschen Lehre von der Extentionalität aller logischen Funktionen wenigstens prinzipiell den Gedanken ins Auge fassen, die Logik ohne die verzweigte Typentheorie aufzubauen. Verf. ist der schärfste Gegner dieser Bestrebungen; er behält den ursprünglichen Standpunkt der Russellschen Schule, also auch die verzweigte Typentheorie bei, läßt aber konsequenterweise auch das Axiom der Reduzierbarkeit fallen (vgl. die Besprechung von des Verf. “Theory of constructive types”). – Um diesen Gegensatz recht zu verstehen, muß man berücksichtigen, daß der Ausgangspunkt von Whitehead und Russell die Antinomien waren. Unter den Antinomien unterscheidet man zwei Arten; die einen, von der Art der Russellschen Antinomie der Menge aller Mengen, treten in jeder Logik auf, die nicht vorsichtig genug gefaßt ist, ob sie sich nun der Symbolik bedient oder nicht. Die anderen Antinomien, von der Art der Richardschen, hängen damit zusammen, daß bei einer Definition Bezug genommen wird auf “alle logischen Ausdrücke”, oder auf “alle Definitionen” einer bestimmten Art. Man nennt diese Antinomien auch semantische Antinomien. Handelt es sich nun darum, einen Logikkalkül aufzustellen, der in sich widerspruchsfrei und daher nicht zur Bedeutungslosigkeit verurteilt ist, so braucht man sich um die semantischen Antinomien nicht zu kümmern. Denn in keinem formalen System der Logik kann man Aussagen machen etwa über alle logischen Ausdrücke, die in eben diesem System aufgestellt werden können. Die erste Art von Antinomien vermeidet die Russellsche Schule, auch wohl in ihrer neuesten Richtung. Braucht man so die semantischen Antinomien nicht direkt zu fürchten, so bleibt trotzdem das Problem ihrer Aufklärung bestehen. Indem nun Verf. auch für die Semantik eine symbolische Formulierung gewinnt, ist er imstande, diese Probleme mit Erfolg angreifen zu können. Die Lösung der hierher gehörigen Fragen geschieht durch eine einfache typenartige Semantik. Diese Semantik steht der Theorie sehr nahe, welche Poincaré zur Klärung der Richardschen Antinomie skizziert hatte. Es ist noch zu erwähnen, daß auch die verzweigte Typenlehre von der Semantik aus ein neues und vereinfachtes Aussehen bekommt.

MSC:

03-XX Mathematical logic and foundations
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