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Une contribution à la théorie de la mesure. (French) JFM 56.0089.05

Banach und Kuratowski haben (1929; F. d. M. \(55_{\text{I}}\), 56) unter Annahme der Richtigkeit der Kontinuumshypothese bewiesen: Es ist unmöglich, jeder Teilmenge \(X\) eines Intervalls \(E\) eine reelle Zahl \(m(X)\) so zuzuordnen, daß
(1) \(m(X)\) vollständig additiv ist;
(2) \(m(X)= 0\) ist, wenn \(X\) aus einem einzigen Element besteht;
(3) \(m(X)\) nicht identisch Null ist.
In der vorliegenden Note beweist Verf. mit Hilfe des Auswahlprinzips: Es läßt sich jeder Teilmenge \(X\) von \(E\) eine nicht negative Zahl \(m(X)\) so zuordnen, daß die Eigenschaften von (2) und (3) erfüllt sind, und daß
(\(1^\prime\)) \(m(X)\) beschränkt additiv ist.
Überdies beweist Verf., daß man die Mengenfunktion \(m(X)\) so bestimmen kann, daß sie nur die Werte 0 und 1 annimmt.
Vgl. auch die in F. d. M. \(55_{\text{I}}\), 150-151 besprochene Arbeit von S. Ulam. (IV 3 C.)

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