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Über den transfiniten Durchmesser ebener Punktmengen. I. (German) JFM 56.0090.01
In dem vorliegenden ersten Teil der Arbeit beweist Verf. zunächst den folgenden Satz: Es sei \(f(\mathfrak M)\) eine für beschränkte, abgeschlossene, ebene Punktmengen definierte Mengenfunktion mit folgenden Eigenschaften:
(1) Ist \(\mathfrak m\) in \(\mathfrak M\) enthalten, so ist \(f(\mathfrak m) \le f(\mathfrak M)\).
(2) Entsteht \(\overline{\mathfrak M}\) aus \(\mathfrak M\) durch Adjunktion eines einzigen Punktes \(P\), so ist \(f(\overline{\mathfrak M}) = f(\mathfrak M)\).
(3) Ist \(\mathfrak M\) nicht leer, und bedeutet \(\mathfrak M(\varrho)\) die Gesamtheit derjenigen Punkte der Ebene, die in den um die Punkte von \(\mathfrak M\) mit dem Radius \(\rho > 0\) beschriebenen Kreisflächen liegen, so ist \(\lim_{\rho\to 0} f(\mathfrak M_\rho) = f (\mathfrak M)\).
Dann hat diese Funktion für die Menge \(\mathfrak M\) und ihren perfekten Kern denselben Wert.
Da Verf. zeigen kann, daß der transfinite Durchmesser die Eigenschaften (1), (2), (3) besitzt, so folgt der Satz von G. Pólya [Math. Ann. 99, 687–706 (1928; JFM 54.0340.07)], welcher besagt, daß jede beschränkte, abgeschlossene, ebene Punktmenge denselben transfiniten Durchmesser hat wie ihr perfekter Kern. Ferner wird bewiesen, daß eine abgeschlossene, beschränkte, lineare Punktmenge mit dem transfiniten Durchmesser Null auch das Lebesguesche Maß Null hat. Die Umkehrung gilt nicht, wie an einem Beispiel gezeigt wird. (III 3, IV 3 C.)
Das Referat über den Teil II der Arbeit [Math. Z. 32, 215–221 (1930)] findet sich im Kapitel III [JFM 56.0112.02].

MSC:
30-XX Functions of a complex variable
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