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Über eine Matrixtransformation. (German) JFM 56.0105.01
Verf. nennt eine Matrix \(F\), deren Elemente \(f_{\varkappa\lambda}\) (\(\varkappa, \lambda = 1, 2, \ldots, n\)) stetige Funktionen einer Variablen \(t \geqq 0\) sind, beschränkt, wenn die \(f_{\varkappa\lambda}\) beschränkte Funktionen von \(t\) sind. Sind die \(f_{\varkappa\lambda}\) stetig differenzierbar, so heißt die Matrix \[ F' =(f_{\varkappa\lambda}') \] die Ableitung von \(F\). Ferner heißt eine Matrix reduziert, wenn oberhalb der Hauptdiagonale lauter Nullen stehen.
Ist nun \(F\) eine beschränkte Matrix, so läßt sich – wie Verf. zeigt – eine beschränkte Matrix \(P\) mit beschränkter Reziproken \(P^{-1}\) und beschränkter Ableitung \(P'\) so angeben, daß die Matrix \[ G = (PF + P')P^{-1} \] reduziert ist. \(P\) kann stets – und, wenn \(F\) reell ist, als reelle Matrix – so gewählt werden, daß die Diagonalelemente \(g_{\varkappa\varkappa}\) von \(G\) reell worden. Für jede Matrix \(G\) (auch ohne die Realitätsbedingung für \(g_{\varkappa\varkappa}\)) ist der Realteil von \[ \int\limits_0^t\left\{\sum_{\varkappa=1}^ng_{\varkappa\varkappa}(\tau) -\sum_{\varkappa=1}^nf_{\varkappa\varkappa}(\tau)\right\}\,d\tau \] beschränkt.
Die Konstruktion von \(P\) gelingt mit Hilfe eines Fundamentalsystems \[ y_1= y_{\varkappa 1}, \ldots, y_n= y_{\varkappa n}\quad (\varkappa= 1,2,\ldots,n) \] von Integralen des linearen Differentialgleichungssystems \[ y_{\lambda}' = \sum_{\varkappa=1}^n f_{\varkappa\lambda}(t)y_\varkappa\quad (\lambda = 1,2,\ldots, n). \] Setzt man \[ Y=(y_{\varkappa\lambda}),\quad Z = (z_{\varkappa\lambda}) = Y\overline Y_1, \] wobei \(\overline Y_1\) die zur Transponierten von \(Y\) konjugiert komplexe Matrix ist, und \[ \varPhi_\varkappa= \left| \begin{matrix} \;& \;& \\ z_{11} & \cdots z_{1\varkappa} \\ \cdot \\ \cdot \\ \cdot \\ z_{\varkappa 1} & \cdots z_{\varkappa\varkappa} \\ \end{matrix} \right|, \] so kann für \(P\) die Matrix mit den Elementen \[ p_{\varkappa\lambda}=\frac 1{\sqrt{\varPhi_\varkappa\varPhi_{\varkappa-1}}} \left| \begin{matrix} \;& \;& \;& \\ z_{11} & \cdots &z_{1,\varkappa-1} & y_{1\lambda} \\ \cdot \\ \cdot \\ \cdot \\ z_{\varkappa 1} & \cdots & z_{\varkappa,\varkappa-1} & y_{\varkappa\lambda} \\ \end{matrix} \right| \] genommen werden.

MSC:
15A16 Matrix exponential and similar functions of matrices
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