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Die Abschätzung eines Polynoms in einem Intervalle, wenn Schranken für seine Werte und ersten Ableitungswerte in einzelnen Punkten des Intervalles gegeben sind, und ihre Anwendung auf die Konvergenzfrage Hermitescher Interpolationsreihen. (German) JFM 56.0112.03
Gegeben sind zwei positive Zahlen \(A\) und \(B\); \(x_1, x_2,\ldots, x_n\) seien die im Intervall \((-1,+1)\) liegenden Tschebyscheffschen Abszissen \[ x_k = \cos (2k - 1)\frac {\pi}{2n}\quad (k = 1, 2, \ldots, n). \] Dann ist der Betrag jeder ganzen rationalen Funktion höchstens \((2n - 1)\)-ten Grades, die an den Stellen \(x_k\) (\(k = 1, 2,\ldots,n\)) höchstens gleich \(A\), und deren Ableitung dort höchstens gleich \(B\) wird, im Intervall \(<\!-1, + 1\!>\) höchstens \[ A+\lambda_nB,\quad \lambda_n\sim \frac 2\pi \frac {\log n}{n}. \] Bei den Legendre-Gaußschen Abszissen ist eine ähnliche Abschätzung möglich. Der Beweis des obenstehenden Satzes benutzt die Zerspaltung der Hermiteschen Interpolationsfunktion – d. h. derjenigen Funktion höchstens \((2n - 1)\)-ten Grades, die das erweiterte Interpolationsproblem löst – in zwei ganze rationale Funktionen, von denen die erste für \(x_1, x_2, \ldots, x_n\) die vorgeschriebenen Werte annimmt, während ihre Ableitung dort verschwindet, die zweite bei \(x_1, x_2, \ldots, x_n\) verschwindet, während ihre Ableitung dort die vorgeschriebenen Werte hat. Die Behauptung folgt dann mit Hilfe der Grandjotschen Abschätzung des Betrages einer ganzen rationalen Funktion auf dem Einheitskreis. Der so bewiesene Satz erlaubt eine Aussage über die im Grenzfall \(n \to \infty\) eindeutige Auflösbarkeit eines speziellen Interpolationsproblems: Haben zwei Polynome von höchstens \((2n-1)\)-tem Grade an den Tschebyscheffschen Abszissen denselben Wert, und sind ihre Ableitungen dort beschränkt, so unterscheiden sie sich für genügend hohes \(n\) im ganzen Intervall beliebig wenig voneinander.
Mit Hilfe der Ergebnisse des ersten Teils beweist Verf. im zweiten Teil der Arbeit, daß man eine beliebig gegebene Funktion \(f(x)\), die im Intervall \(<\!-1,+1\!>\) stetig ist, gleichmäßig approximieren kann durch eine Folge von Polynomen höchstens \((2n-1)\)-ten Grades, die an den Tschebyscheffschen Abszissen sämtlich mit \(f(x)\) übereinstimmen und dort nicht zu steil sind.
Im Anhang wird ein abgekürzter Beweis für einen bekannten Satz angegeben, der an das gewöhnliche Lagrangesche Interpolationsproblem in ähnlicher Weise anknüpft wie der eingangs genannte an das erweiterte Interpolationsproblem, aber die entgegengesetzte Aussage enthält. Schließlich bringt Verf. ein Beispiel für ein Polynom von höchstens \((2n-1)\)-tem Grade, das im Intervall \(<\!-1, + 1\!>\) einen beliebig großen Wert annimmt, wenn nur \(n\) gehörig groß ist, obwohl der Funktionswert und der Ableitungswert in \(n\) äquidistanten Punkten des Intervalls dem Betrage nach \(\leqq 1\) ist. (IV 6 A.)

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References:
[1] G. Faber1. ?ber die interpolatorische Darstellung stetiger Funktionen. Jahresbericht der Deutschen, Mathematikervereinigung23, (1914), S. 192-210. · JFM 45.0381.04
[2] L. Fej?r1. Interpol?ti?r?l (ungarisch). Mathematikai ?s Term. ?rtesit? (Anzeiger der Ungarischen Akademie der Wissenschaften)34 (1916), S. 209-229. (Sitzung vom 15. November 1915).
[3] ?ber Interpolation. Nachrichten der Gesellschaft der Wissenschaften zu G?ttingen, Mathematisch-physikalische Klasse (1916).
[4] ?ber Weierstra?sche Approximation, besonders durch Hermitesche Interpolation. Mathematische Annalen102, (1930), S. 707-725. · JFM 56.0255.02 · doi:10.1007/BF01782372
[5] Sur les singularit?s de la s?rie de Fourier des fonctions continues. Annales scientifiques de l’?cole Normale Sup?rieur, 3e s?rie,28, (1911), p. 63-103.
[6] K. Grandjot.1. ?ber Polynome, die in Einheitswurzeln beschr?nkt sind. Jahresbericht der Deutschen Mathematikervereinigung34, (1925), S. 80-86. · JFM 51.0097.03
[7] E. Landau.1. Bemerkungen zu einer Arbeit von Herrn Carleman. ??ber die Fourierkoeffizienten einer stetigen Funktion?. Math. Zeitschrift5, (1919), S. 147-153. · JFM 47.0257.01 · doi:10.1007/BF01203161
[8] Ch.-J. de la Vall?c Poussin.1. Sur la convergence des formules d’interpolation entre ordonn?es ?quidistantes. Bulletins de l’Acad?mie royale de Belgique (Classe des sciences) (1908), p. 319-410.
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