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Über minimale invariante Untergruppen in der Theorie der endlichen Gruppen. (German) JFM 56.0128.08
Verf. nennt eine minimale invariante Untergruppe \(\mathfrak F\) einer endlichen Gruppe \(\mathfrak G\) einen Fuß von \(\mathfrak G\). Der Fuß eines Fußes heißt Huf. Das Produkt aller Füße ist der Sockel \(\mathfrak S\); er ist darstellbar als direktes Produkt gewisser Füße; die Anzahl der Füße in diesem direkten Produkt, der Rang des Sockels, ist bei allen Zerlegungen dieselbe. Zwei Füße \(\mathfrak F_1\) und \(\mathfrak F_2\) heißen kohärent, wenn eine eindeutig isomorphe Zuordnung besteht, derart, daß diese Zuordnung bei Transformation beider Füße mit einem Element aus \(\mathfrak G\) erhalten bleibt. Ist \[ \mathfrak S = \mathfrak F_1 \times \mathfrak F_2 \times \cdots \times \mathfrak F_r \] die Darstellung des Sockels als direktes Produkt der Füße \(\mathfrak F_1\), …, \(\mathfrak F_r\) so fasse man in dieser Darstellung alle kohärenten Füße zu ihrer Kohärente \(\mathfrak K_\lambda\) zusammen. Man erhält in \[ \mathfrak S = \mathfrak K_1 \times \mathfrak K_2 \times \cdots \times \mathfrak K_l \] eine eindeutige Darstellung, gleichgültig, von welcher Darstellung durch Füße man ausgegangen ist. Verf. gibt nun folgende Einteilung der Füße: Ein Fuß heißt erster Art, wenn er kommutativ und im Zentrum von \(\mathfrak G\) enthalten ist; zweiter Art, wenn er kommutativ, aber nicht im Zentrum von \(\mathfrak G\) enthalten ist; dritter Art, wenn er nicht kommutativ ist. Diese drei Arten werden für sich untersucht; es werden die Automorphismengruppen der Füße, die innerhalb der gegebenen Gruppe entstehen, und für die Füße zweiter und dritter Art alle Automorphismen aufgestellt.

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Full Text: Crelle EuDML