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Über unendliche diskrete Gruppen. (German) JFM 56.0135.01
Aus den definierenden Relationen einer unendlichen diskreten Gruppe lassen sich als einfachste Gruppeninvarianten die Poincaréschen Zahlen \(\pi_1,\ldots,\pi_r\) berechnen. Um zu weiteren Invarianten zu gelangen, führt man zuerst die “zweite” Kommutatorgruppe ein, die durch die Kommutatorelemente der Elemente der ganzen Gruppe mit den Elementen der “ersten” Kommutatorgruppe erzeugt wird. Bildet man nun die Faktorgruppe der zweiten Kommutatorgruppe in der ganzen Gruppe, dann die Kommutatorgruppe dieser Faktorgruppe, dann den Durchschnitt dieser Kommutatorgruppe mit der Gruppe der \(\varrho_i\)-ten Potenzen, wobei \(\varrho_i\) der größte ungerade Teiler einer Poincaréschen Zahl \(\pi_i\) ist, und bildet man schließlich die Faktorgruppe dieses Durchschnitts nach der Kommutatorgruppe der Faktorgruppe der zweiten Kommutatorgruppe, so sind ihre Poincaréschen Zahlen \(\eta_{i1},\ldots, \eta_{is}\) Invarianten der ganzen Gruppe. Durch diese und die Poincaréschen Zahlen der ganzen Gruppe sind die des Durchschnitts sowie die des Zentrums der zweiten Kommutatorgruppe bestimmt. Die \(\eta_{ik}\) lassen sich als Elementarteiler von Matrizen, die angegeben werden, berechnen. Daß sie Invarianten sind, wird formal bewiesen. Die benutzten Methoden sind eine Fortführung der von K. Reidemeister (Abhandlungen Hamburg 5 (1926), 33-39; F. d. M. 52) verwendeten Methoden. Eine naheliegende Verallgemeinerung der Untersuchungen wird gestreift.
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Full Text: DOI Crelle EuDML