Moderne Algebra. Bd. I. Unter Benutzung von Vorlesungen von E. Artin und E. Noether. (German) JFM 56.0138.01

van der Waerden, B. L.

Die Grundlehren der mathematischen Wissenschaften in Einzeldarstellungen mit besonderer Berücksichtigung der Anwendungsgebiete. Bd. 23. Berlin: J. Springer, viii, 243 S. (1930).

Das Ziel dieses zweibändigen Werkes, dessen erster Band hier besprochen werden soll, ist die Einführung in die Begriffswelt der abstrakten Richtung, “der die Algebra ihren erneuten Aufschwung in der jüngsten Zeit verdankt, und die vor allem in der Körpertheorie, der Idealtheorie, der Gruppentheorie und der Theorie der hyperkomplexen Zahlen zu einer Reihe von neuartigen Begriffsbildungen, zur Einsicht in neue Zusammenhänge und zu weitreichenden Resultaten geführt hat”.
Der erste Band hat infolgedessen die Aufgabe, die Grundlage der Gruppentheorie und elementaren Algebra aufzubauen. Um diesen Aufbau von Grund auf zu ermöglichen, bringt Kap. I (Zahlen und Mengen) eine Einführung in die Mengenlehre, und zwar vom naiven Standpunkte aus, aber mit der Vorsicht, zu der die bekannten Antinomien der Mengenlehre nötigen, ferner den auf den Axiomen von Peano aufgebauten Begriff der ganzen Zahl. Kap. II (Gruppen) beschäftigt sich mit den Grundlagen der Gruppentheorie; fortgeführt wird diese Theorie im sechsten Kapitel. Kap. III (Ringe und Körper) untersucht die allgemeinsten Eigenschaften der Systeme mit doppelter Komposition und die Grundlagen einer Idealtheorie in Integritätsbereichen, d. h. Ringen ohne Nullteiler mit kommutativer Multiplikation.
Nach diesen mehr grundlegenden Kapiteln beginnt nun der eigentliche Aufbau der Algebra in Ringen und Körpern. Kap. IV (Ganze rationale Funktionen) hat daher die Theorie der Polynome in einer oder mehreren Veränderlichen mit Koeffizienten aus einem kommutativen Ring oder Körper zum Inhalt; es beschäftigt sich mit der Untersuchung der Nullstellen und der Faktorzerlegung solcher Polynome, mit Irreduzibilitätskriterien und schließlich mit der Theorie der symmetrischen Funktionen. Kap. V (Körpertheorie) bringt eine allgemeine Theorie der kommutativen Körper auf der Grundlage, die die moderne Körpertheorie durch die klassische Arbeit von E. Steinitz (1910; F. d. M. 41, 445 (JFM 41.0445.*)-446; vgl. auch die vorstehend angezeigte Neuausgabe) gewonnen hat. Hier ist in geschlossener Form die gesamte Theorie in allen ihren Einzelheiten dargestellt. Die Steinitzschen Resultate über Primkörper, über algebraische und transzendente Erweiterungen mit ihren Fallunterscheidungen bei Körpern von Primzahlcharakteristik finden hierin ihren durch den Gang der Untersuchungen vorgeschriebenen Platz. Kap. VI (Fortsetzung der Gruppentheorie) hat, wie schon erwähnt, eine Fortsetzung der Gruppentheorie zum Inhalt, die der Theorie von Galois zur Grundlage dient, also sich hauptsächlich mit Permutationsgruppen beschäftigt. Die in diesem Kapitel enthaltenen allgemeinen Ergebnisse stützen sich auf den zuerst von Krull eingeführten Begriff der Gruppen mit Operatorenbereich, der besonders bei den Untersuchungen über Normalreihen, Kompositionsreihen und Hauptreihen zu bedeutenden Vereinfachungen führt. Kap. VII (Die Theorie von Galois) bringt dann die Theorie von Galois in kommutativen Körpern. Auf eine Darstellung der allgemeinen Theorie folgt der Hauptsatz über die Auflösung von Gleichungen durch Radikale, wobei insbesondere die Kreisteilungsgleichungen, die zyklischen und metazyklischen Gleichungen behandelt werden. Auch die Konstruktionen mit Zirkel und Lineal finden ihren Platz in einem Abschnitt dieses Kapitels. Der Satz von Abel, der besagt, daß die allgemeine Gleichung \(n\)-ten Grades für \(n > 4\) nicht durch Radikale auflösbar ist, veranlaßt eine Untersuchung der allgemeinen Gleichungen zweiten, dritten und vierten Grades. Schließlich wird noch auf die Existenz affektloser Gleichungen eingegangen. Die letzten beiden Kapitel, die die unendlichen Körpererweiterungen und die reellen Körper behandeln, verlangen eine Untersuchung über geordnete und wohlgeordnete Mengen, die den Inhalt des Kap. VIII (Geordnete und wohlgeordnete Mengen) ausmacht. Im Vordergrund stehen hierbei natürlicherweise das Auswahlpostulat von Zermelo und der Wohlordnungssatz. Hieran schließt sich ein Abschnitt über die transfinite Induktion. Kap. IX (Unendliche Körpererweiterungen) untersucht die Struktur der unendlichen algebraischen und transzendenten Erweiterungen, Kap. X (Reelle Körper) die Frage nach der Existenz reeller Körper im Anschluß an die Untersuchungen von E. Artin und O. Schreier.
Die vorstehende Inhaltsangabe macht keinen Anspruch auf Vollständigkeit. Es wäre auch nicht möglich, den Inhalt dieses Werkes lückenlos anzugeben, da es in allen Teilen eine Fülle von Bemerkungen in sich birgt, die nicht direkt auf dem Wege liegen, den der Verf. zu seinem Ziele einschlägt, die aber doch zur Abrundung der Darstellung wesentlich beitragen. Diese Bemerkungen werden noch vertieft durch reichliche Literaturangaben, die den Leser in jede spezielle Frage weiter eindringen lassen.
Besprechungen: D.; Nieuw Archief (2) 17\(_1\) (1931), 101-102. H. Hahn, O. Taussky; Monatshefte f. Math. 39 (1932), 11-12 kursiv. J. v. Neumann; Acta Szeged 5 (1932), 259-260. Ö. Ore; Bulletin A. M. S. 38 (1932), 327-329. Th. Skolem; Norsk Mat. Tidsskrift 13 (1931), 58-59. U. Wegner; Z. f. math. Unterricht 63 (1932), 249-250.

Reviewer: Specht, W., Dr. (Königsberg i. Pr.)

MSC:

12-01	Introductory exposition (textbooks, tutorial papers, etc.) pertaining to field theory
13-01	Introductory exposition (textbooks, tutorial papers, etc.) pertaining to commutative algebra
20-01	Introductory exposition (textbooks, tutorial papers, etc.) pertaining to group theory
00A05	Mathematics in general

JFM Section:

Erster Halbband. Dritter Abschnitt. Arithmetik und Algebra. Kapitel 5. Gruppentheorie. Abstrakte Algebra.

Citations:

JFM 41.0445.*