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Idealtheorie in unendlichen algebraischen Zahlkörpern. II. (German) JFM 56.0140.03
\(\mathfrak{K}\) sei ein beliebiger Körper, \(\mathfrak{P}\) eine Maximalordnung in \(\mathfrak{K}\), die das Einheitselement enthält. Der Körper \(\mathfrak{K}\) sei bewertet, d. h. jedem Körperelement \(c\neq 0\) sei eine reelle Zahl, der Null das Symbol \(\infty\) zugeordnet, so daß gilt: (1) Der Wert des Produktes ist gleich der Summe der Werte. (2) Der Wert der Summe ist größer oder gleich dem Minimum der Werte der Summanden. (3) Nicht alle Elemente haben den Wert \(0\). (Diese Bewertungsdefinition geht aus der üblichen im wesentlichen durch Logarithmieren hervor.) Die Maximalordnungen \(\mathfrak{P}\) sind nun dadurch ausgezeichnet, daß sie durch eine feste Bewertung von \(\mathfrak{K}\), bei der jedes Element aus \(\mathfrak{P}\) einen nichtnegativen Wert hat und einer vorgeschriebenen Nichteinheit der Wert 1 zukommt, charakterisiert sind. Die Bewertung der Ideale in \(\mathfrak{P}\) wird durch folgende Vorschrift eingeführt: Der Wert eines Ideals ist die untere Grenze \(w\) der Werte der darin enthaltenen Elemente. Enthält das Ideal ein Element vom Wert \(w\), so erhält es das Symbol \(e\); enthält es kein Element vom Wert \(w\), so erhält es das Symbol \(u\). Das Ideal ist in der Maximalordnung durch Wert und Symbol eindeutig bestimmt. Die Ordnung \(\mathfrak{D}\) mit dem Quotientenkörper \(\mathfrak{K}\) heißt Hauptordnung, wenn sie der Durchschnitt aller Maximalordnungen \(\mathfrak{P}\) ist, die \(\mathfrak{D}\) als Teilmenge enthalten, und wenn sie das Einheitselement enthält. Die Hauptordnungen kann man auch folgendermaßen charakterisieren: Ist \(\alpha < \mathfrak{K}\), \(\beta < \mathfrak{K}\), so ist \(\alpha\) durch \(\beta\) dann und nur dann bezüglich einer Hauptordnung \(\mathfrak{D}\) teilbar, d.h. \(\alpha\beta^{-1} < \mathfrak{D}\), wenn der Wert von \(\alpha\) in jeder Bewertung mindestens so groß ist wie der Wert von \(\beta\). Von der Bewertung der Ideale kommt Verf. nun zu den Zahl- und Symbolfunktionen:
Die Maximalordnungen \(\mathfrak{P}\), die die Hauptordnung bestimmen, werden als Punkte eines Raumes \(M\) aufgefaßt, der durch Einführung eines Umgebungsbegriffes topologisiert werden kann. Die Zahlfunktion ordnet jedem \(\mathfrak{P} < M\) eine reelle Zahl oder das Symbol \(-\infty\) zu, die Symbolfunktion das Zeichen \(e\) oder \(u\). Sei nun \(\mathfrak{a}\) ein Ideal der Hauptordnung \(\mathfrak{D}\). Man bilde \(\mathfrak{aP}\) für alle \(\mathfrak{P}\). Die Symbolfunktion, die \(\mathfrak{a}\) auf \(M\) erzeugt, ist dann schon bestimmt, indem man dem Punkt \(\mathfrak{P}\) das Symbol von \(\mathfrak{aP}\) zuordnet.
Die Zahlfunktion erhält man, in dem man bei einer fest bestimmten Bewertung von \(\mathfrak{P}\) dem Punkt \(\mathfrak{P}\) den Wert von \(\mathfrak{aP}\) zuordnet.
Sei nun \(\mathfrak{K}\) ein unendlicher algebraischer Zahlkörper, \(\mathfrak{D}\) die Hauptordnung der ganzen algebraischen Zahlen dieses Körpers. Dann gibt Verf. notwendige und hinreichende Bedingungen an, unter denen zu vorgegebenen Zahl- und Symbolfunktionen ein Ideal gehört. Da nun außerdem ein Ideal in \(\mathfrak{D}\) durch seine Zahl- und Symbolfunktion eindeutig bestimmt ist, hat man einen Überblick über die Ideale von \(\mathfrak{D}\) erhalten. (Im Beweis wird die Gültigkeit des Teilerkettensatzes für \(\mathfrak{D}\) benutzt.) Man kann auch mit Hilfe der Zahlfunktionen entscheiden, wann eine Gleichung \(\mathfrak{a} = \mathfrak{b}\cdot\mathfrak{c}\) bei bekannten Idealen \(\mathfrak{a}\), \(\mathfrak{b}\) bestehen kann. Mit Hilfe der Zahlfunktionen werden ferner die umkehrbaren Ideale \(\mathfrak{u}\) untersucht, für die \(\mathfrak{u}\cdot\mathfrak{u}^{-1} = \mathfrak{D}\) ist.

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