×

zbMATH — the first resource for mathematics

Beiträge zur Funktionentheorie in nichtarchimedisch bewerteten Körpern. (German) JFM 56.0141.03
Universitas-Archiv 42 (Math. Abteilung Nr. 2), 63 S. (1930).
Der Schauplatz der klassischen Funktionentheorie, der Körper der komplexen Zahlen, ist vom Standpunkt der modernen Algebra charakterisiert als der (nach Ostrowski) einzige algebraisch abgeschlossene und hinsichtlich einer archimedischen Bewertung perfekte Körper. Gegenstand der vorliegenden Arbeit ist die Frage, wie weit sich die klassische Funktionentheorie übertragen läßt auf solche Körper, in denen durch eine nithtarchimedische Bewertung die Grundlage für eine Analysis gegeben ist, insbesondere auf perfekte algebraisch abgeschlossene Körper.
Die Untersuchung des auf Grund der nichtarchimedischen Bewertungim Körper \(K\) definierten Umgebungsbegriffs führt zu dem Ergebnis, daß (abgesehen von einer unwesentlichen Ausnahme) jede Umgebung zugleich offen und abgeschlossen, der Körper als Raum also nulldimensional ist. Zwei wichtige Hilfsmittel der Analysis, der Heine- Borelsche Überdeckungssatz und das Bolzano-Weierstraßsche Häufungsstellenprinzip, gelten dann und nur dann, wenn \(K\) folgenden drei Bedingungen genügt: (1) \(K\) ist perfekt; (2) die Bewertung von \(K\) ist diskret; (3) \(K\) ist von endlichem Index, d. h. der Index der additiven Gruppe aller ganzen Nichteinheiten in der additiven Gruppe aller ganzen Zahlen ist endlich. Die Bedingungen (2) und (3) sind für einen algebraisch abgeschlossenen Körper nie erfüllt.
Die Tatsache, daß \(K\) als Raum nulldimensional ist, und die Bedingung der nichtarchimedischen Bewertung macht die Definition des Kurvenintegrals und eine Integraldefinition überhaupt durch approximierende Summen unmöglich. Man ist also zum Aufbau der Funktionentheorie auf die Weierstraßsche Methode angewiesen. Unbrauchbar sind, wenigstens in Körpern der Charakteristik \(p\neq 0\), auch die Methoden, die von den sukzessiven Ableitungen einer Funktion Gebrauch machen. – Die Konvergenzbedingungen für unendliche Reihen und Produkte werden im perfekten Körper sehr einfach: Eine Reihe \(\sum a_n\) oder ein Produkt \(\prod (1+a_n)\) konvergiert dann und nur dann, wenn \(\lim\limits_{n\to\infty} a_n=0\); die Konvergenz ist immer unbedingt. Für Potenzreihen wird der Konvergenzradius durch die Cauchy-Hadamardsche Formel definiert. Bemerkenswert ist, daß eine Potenzreihe entweder überall oder nirgends auf dem Rande des Konvergenzkreises konvergiert; ferner, daß die Umbildung einer Potenzreihe stets genau denselben Konvergenzradius besitzt wie die ursprüngliche Potenzreihe, eine Tatsache, die bei der analytischen Fortsetzung zu Schwierigkeiten Anlaß gibt.
Von den weiteren Untersuchungen, die spezielle funktionentheoretische Sätze behandeln, seien nur einige Sätze genannt, die, zum Teil mit gewissen Modifikationen und oft wesentlich vereinfacht, im algebraisch abgeschlossenen Körper gelten: Der gewöhnlich auf Grund der Cauchyschen Integralformel bewiesene Cauchysche Koeffizientensatz; ein Satz über die Anzahl der Nullstellen und allgemeiner über den Wertevorrat einer Potenzreihe im Innern und auf dem Rande eines Kreises (vgl. hierzu: R. Straßmann, 1928; F. d. M. 54, 162 (JFM 54.0162.*)); Existenz des Maximums einer Funktion auf einem Kreis um den Entwicklungspunkt; Existenz einer Stelle mit absolut kleinerem Funktionswert zu jedem \(x\) mit \(f(x)\neq 0\) im Innern des Konvergenzkreises (dieser für den Beweis des Fundamentalsatzes der Algebra grundlegende Satz gilt nur in algebraisch abgeschlossenen Körpern); der Hadamardsche Dreikreisesatz; das Schwarzsche Lemma; der Liouvillesche Satz; der Satz von Casorati-Weierstraß; der Weierstraßsche Produktsatz; der Verzerrungssatz und verwandte Sätze. Es sei bemerkt, daß mit dieser Aufzählung der Inhalt der Arbeit insofern nur unvollständig wiedergegeben ist, als es in vielen Fällen gelingt, auf Grund der schon beim Heine-Borelschen Satz auftretenden Kriterien (1) – (3) den Gültigkeitsbereich der Sätze genau abzugrenzen.
Besondere Schwierigkeiten bereitet aus dem schon genannten Grunde die analytische Fortsetzung. Fortsetzung durch Umbildung von Potenzreihen ist höchstens dann möglich, wenn eine Entwicklung in der Umgebung des unendlichen fernen Punktes möglich ist. Auch mit Hilfe von Laurentreihen kommt man nicht immer zum Ziel. Andere in speziellen Fällen brauchbare Verfahren, z. B. Fortsetzung durch Funktionalgleichungen, werden kurz gestreift.

Subjects:
Erster Halbband. Dritter Abschnitt. Arithmetik und Algebra. Kapitel 5. Gruppentheorie. Abstrakte Algebra.