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Determination of all normal division algebras in thirty-six units of type \(R_{2}\). (English) JFM 56.0145.06

\(\mathfrak{A}\) sei eine normale Divisionsalgebra der Ordnung \(6^2\) über einem unendlichen Körper. Das Element \(x\), das einer Minimalgleichung \(\varphi (\xi ) = 0\) vom Grad \(r\) genügt, heißt vom Typus \(R_k\), wenn es \(k\) von einander verschiedene Polynome \(x, \theta_1(x),\ldots, \theta_{k-1}(x)\) gibt, die sämtlich der Gleichung \(\varphi (\xi ) = 0\) genügen. Eine Algebra der Ordnung \(n^2\) heißt vom Typus \(R_k\), wenn sie ein Element der Ordnung \(n\) und vom Typus \(R_k\) enthält. Verf. zeigt nun, daß die normale Divisionsalgebra \(\mathfrak{A}\) der Ordnung \(6^2\) vom Typus \(R_2\) auch vom Typus \(R_3\) ist; diese Divisionsalgebren sind in einer früheren Arbeit des Verf. (On the structure of normal division algebras; Annals of Math. (2) 30 (1929), 322-338; F. d. M. 55\(_{\text{II}}\)) behandelt worden. Als notwendige und hinreichende Bedingung dafür, daß eine normale Divisionsalgebra \(\mathfrak{A}\) der Ordnung \(6^2\) vom Typus \(R_6\) ist, ergibt sich, daß \(\mathfrak{A}\) ein Element \(x\) vom Grad \(3\) enthält, das mit einem transformierten Element \[ txt^{-1}\neq x \qquad (t<\mathfrak{A}) \] vertauschbar ist. Auch diese Algebren können nach Dickson als bekannt angesehen werden.

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