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Über die Verteilung quadratischer Reste. (German) JFM 56.0157.06

Ist \(f(x)\) ein ganzzahliges Polynom vom Grade \(s\), \(p\) eine Primzahl, \(\sum\limits_\nu\biggl(\dfrac{f(\nu)}{p}\biggr)\) die über ein vollständiges Restsystem mod \(p\) erstreckte Summe der Legendreschen Symbole, so hat E. Jacobsthal [Anwendungen einer Formel aus der Theorie der quadratischen Reste. Berlin (1906; JFM 37.0226.01)] diese Summe für \(s = 2\) berechnet und mit ihrer Hilfe die Anzahl der Sequenzen \(R_3\) und \(N_3\) von drei quadratischen Resten und drei quadratischen Nichtresten in einem vollständigen Restsystem mod \(p\) angegeben. Verf. erhält Abschätzungen für \(\sum\limits_\nu\biggl(\dfrac{f(\nu)}{p}\biggr)\), falls \(f(x)\) ein Polynom dritten oder vierten Grades ist, das mod \(p\) in von einander verschiedene Linearfaktoren zerfällt. Mittels dieser Abschätzungen beweist Verf. für die Anzahl \(R_4\) der Sequenzen von vier quadratischen Resten
\[ \dfrac{p}{2^4}(1-c)+o(p)<R_4<\dfrac{p}{2^4}(1+c)+o(p), \]
wo \(c = \dfrac{1}{\sqrt{12}}\) für die Primzahlen der Form \(4n + 3\) und \(c = \dfrac{3}{\sqrt{12}}\) für die Primzahlen der Form \(4n+ 1\) ist. Dieselben Ungleichungen gelten für \(N_4\). Diese Abschätzungen bedeuten eine wesentliche Verbesserung der von K. Dörge gegebenen [Jahresber. D. M. V. 38, 41–49 (1929; JFM 55.0094.06)].

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