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Zur Klassenkörpertheorie im Kleinen. (German) JFM 56.0165.04
Den sieben Hauptsätzen der von T. Takagi [J. Coll. Sci. Tokyo 41, Artikel Nr. 9, 133 S. (1920; JFM 47.0147.03)] entwickelten Theorie eines Abelschen Körpers, der eine endliche algebraische Erweiterung \(K\) eines algebraischen Zahlkörpers \(k\) ist (“Klassenkörpertheorie im Großen”), lassen sich sieben ganz entsprechende Sätze über die Abelsche Erweiterung \(\overline{K}\) eines \({\mathfrak p}\)-adischen Körpers \(\overline{k}\) (“Klassenkörpertheorie im Kleinen”) zur Seite stellen. Die ersten fünf Sätze werden von H. Hasse für einen Körper \(\overline{K}\) bewiesen, der “Grenzkörper” zu einer endlichen Abelschen Erweiterung \(K\) eines algebraischen Zahlkörpers \(k\) ist; d. h: es gibt in \(k\) ein Primideal \(\mathfrak p\), in \(K\) einen Primidealteiler \(\mathfrak P\) von \(\mathfrak p\), so daß \(\overline k\) der Körper der \(\mathfrak p\)-adischen Zahlen von \(k\), \(\overline K\) der der \(\mathfrak P\)-adischen Zahlen von \(K\) ist. Die fünf Sätze werden aus ihrer Gültigkeit im Großen gefolgert, indem das dort benutzte Artinsche Normenrestsymbol durch das Hassesche (vgl. S. 135 der vorstehend besprochenen Arbeit [J. Reine Angew. Math. 162, 145–154 (1930; JFM 56.0165.03)]) ersetzt wird. F. K. Schmidt befreit diese Beweise von der Einschränkung, daß \(\overline K\) Grenzkörper ist, und beweist den sechsten und siebenten Satz, nämlich den Abgrenzungs- und Existenzsatz, für \(\mathfrak p\)-adische Körper fast unabhängig von der Theorie im Großen, aber teilweise unter Benutzung der Hasseschen Resultate (III 5.).

MSC:
11R37 Class field theory
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Full Text: DOI Crelle EuDML