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Ein Satz über relativ-Galoissche Zahlkörper und seine Anwendung auf relativ-Abelsche Zahlkörper. (German) JFM 56.0166.04
Es sei \(k\) ein algebraischer Zahlkörper, \(K\) beliebig algebraisch über \(k, P (K)\) die Menge fast aller (d. h. aller bis auf endlich viele, beliebig wählbare Ausnahmen) zur Diskriminante von \(K/k\) teilerfremden Primideale \(\mathfrak p\) aus \(k\), die in \(K\) mindestens einen Primidealteiler vom Relativgrade 1 haben; weiter sei \(G\) über \(k\) galoissch, \(\mathfrak G\) die zu \(G/k\) gehörige Galoissche Gruppe und \(\sigma\) dasjenige Element von \(\mathfrak G\), das dem Primteiler \(\mathfrak P\) von \(\mathfrak p\) in \(G\) vermöge der Relation zugeordnet ist: \[ A^{N({\mathfrak p})}\equiv \sigma A \operatorname{mod} {\mathfrak P} \;\text{für jedes ganze} \;A \;\text{aus} \;G. \] Die Gesamtheit fast aller der Substitution \(\sigma\) auf diese Weise zugeordneten Primideale \(\mathfrak p\) von \(k\) sollen zur gleichen Klasse nach \(G\) in \(k\) gehörig heißen. Dann läßt sich der Bauersche Satz: “Ist \(G/k\) Galoissch und \(K'/k\) beliebig, so bedingen sich die Relationen \[ G\leqq K' \;\text{und} \;\;P (G) \geqq P(K') \] gegenseitig” (1916; F. d. M. 46, 249 (JFM 46.0249.*)) folgendermaßen verallgemeinern: Ist bei den gleichen Voraussetzungen \(\mathfrak H\) die zu dem Durchschnitt \(G\) mit \(K'\) gehörende Untergruppe von \(\mathfrak G\), so ist die Dichte (im Dirichletschen Sinn) derjenigen Klassen nach \(G\) in \(k\), deren Durchschnitt mit \(P(K')\) nicht leer ist, gleich der relativen Häufigkeit der Substitutionen der mit \(\mathfrak H\) konjugierten Untergruppen in \(\mathfrak G\).
Der Satz erlaubt folgende Anwendung auf die Theorie der relativ-Abelschen Zahlkörper: Ist \(G/k\) Klassenkörper zu der Idealgruppe \(H\) vom Führer \(f\) in \(k\) und \(K'/k\) wieder beliebig, so ist \(GK'/K'\) Klassenkörper zur Gruppe \(H'\) derjenigen zu \(f\) primen Ideale in \(K'\), deren Normen nach \(k\) in die Gruppe \(H\) fallen.

MSC:
11R32 Galois theory
11R29 Class numbers, class groups, discriminants
11R20 Other abelian and metabelian extensions
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