Recherches sur la valeur des exposants des composants primaires des idéaux de polynomes. (French) JFM 56.0170.04

Dubreil, P.

Journ. de Math. (9) 9, 231-309 (1930).

Ist \(k [x_1, x_2, \ldots, x_n]\) ein Polynomenring über einem beliebigen Körper, so ist jedes Ideal \({\mathfrak m}\) des Ringes als kleinstes gemeinschaftliches Vielfaches \[ {\mathfrak m} = [{\mathfrak q}_1, {\mathfrak q}_2, \ldots, {\mathfrak q}_l] \] von primären Idealen zu schreiben. Ist diese Darstellung von \(\mathfrak m\) eine Darstellung durch größte Primärkomponenten, so ist sie eindeutig in dem Sinne, daß die Zahl \(l\) und die den Primäridealen entsprechenden Primideale \({\mathfrak p}_\lambda\) auf eindeutige Weise bestimmt sind. Zu jedem \({\mathfrak q}_\lambda\) gehört dann ein kleinster Exponent \(\varrho_\lambda\), so daß gilt \[ {\mathfrak p}_\lambda^{\varrho_\lambda}\equiv 0 (\operatorname{mod} {\mathfrak q}_\lambda); \] \(\varrho_\lambda\) wird als der Exponent von \({\mathfrak q}_\lambda\) bezeichnet.
Mit der Bestimmung dieser Exponenten beschäftigt sich die vorliegende Arbeit. Dazu wird im Ideale \({\mathfrak m}\) ein Polynom einer einzigen Veränderlichen, \(x_1\), von möglichst kleinem Grade aufgestellt, die “Unter-Resultante”, die im allgemeinen von der Resultante verschieden ist. Ist \(K\) ein perfekter Körper, so entspricht bei Anwendung “normaler Koordinaten” die Zerlegung der Unter-Resultante in Potenzen von in \(K [x_1]\) irreduziblen Faktoren der Zerlegung des Ideals in Primärideale, wobei der Exponent eines solchen irreduziblen Faktors gleich ist dem des entsprechenden Primärideals.
Die Ergebnisse werden bedeutend verschärft in dem Spezialfalle eines Ideals, das durch zwei Polynome in zwei Veränderlichen erzeugt wird. Hier können genaue Kriterien für die Normalität der Koordinaten angegeben werden, sowie dafür, wann die Unter-Resultante mit der Resultante übereinstimmt.
Für den Exponenten erhält man in einer einfachen Formel eine obere Schranke, die von den Vielfachheitsordnungen und den Berührungsordnungen der beiden Polynome in dem betrachteten Punkt der Mannigfaltigkeit abhängt; dabei wird diese obere Schranke im allgemeinen erreicht außer in gewissen Ausnahmefällen, die genau charakterisiert werden können.
Diese Resultate können in einiger Hinsicht noch auf Polynomideale in zwei Veränderlichen ausgedehnt werden, die eine beliebige endliche Anzahl von Basispolynomen besitzen.

Reviewer: Specht, W., Dr. (Königsberg i. Pr.)

JFM Section:

Erster Halbband. Dritter Abschnitt. Arithmetik und Algebra. Kapitel 7. Idealtheorie.