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Über das Verschwinden von Potenzreihen mehrerer Veränderlicher in speziellen Punktfolgen. (German) JFM 56.0185.03
\[ \varOmega=(o_{\alpha\beta})\qquad(\alpha,\beta=1,2,\dots,n) \] sei eine Matrix mit nichtnegativen ganzen rationalen Elementen. Es sei \[ \varOmega^k=\bigl(o_{\alpha\beta}^{(k)}\big)\qquad (\alpha,\beta=1,2,\dots,n). \] In \(z=(z_1,\dots,z_n)\) seien \(z_1\), …, \(z_n\) \(n\) komplexe Veränderliche; \[ z'=\varOmega^k z \] bezeichne die Transformation \[ z_\alpha^\prime=\textstyle \prod\limits_{\beta=1}^{n} \displaystyle z_\beta^{o_{\alpha\beta}^{(k)}}\qquad(\alpha=1,2,..,n). \] Man habe ferner die Potenzreihe \[ E(z)=\textstyle \sum\limits_{h_1=0}^{\infty } \cdots\sum\limits_{h_n=0}^{\infty } \displaystyle B_{h_1\cdots h_n}\cdot z_1^{h_1}\cdots z_n^{h_n} \] und wähle die \(z_1\), …, \(z_n\) derart, daß die Werte \(E(\varOmega^k z)\) von \(E(z)\) für genügend großes \(k\) konvergieren.
Verf. untersucht im Anschluß an eine eigene Arbeit (1929; F. d. M. \(55_{\text{I}}\), 115) folgendes Problem:
Welches sind die notwendigen und hinreichenden Bedingungen für das Verschwinden der \(E(\varOmega^k z)\)?
Verf. betrachtet den Fall \[ \begin{pmatrix} \varrho&0&\cdots &0\\ 0&\varrho&\cdots &0\\ \cdot&\cdot&&\cdot\\ \cdot&\cdot&&\cdot\\ \cdot&\cdot&&\cdot\\ 0&0&\cdots&\varrho\end{pmatrix}=\varrho E \] mit ganzem \(\varrho\geqq 2\). Er zeigt: Die Zahlen \(z_1\), \(z_2\), …, \(z_n\) seien algebraisch, absolut kleiner als 1 und von Null verschieden. Es bestehe keine Gleichung \[ z_1^{e_1}z_2^{e_2}\cdots z_n^{e_n}=1 \] mit ganzen rationalen \(e_1\), \(e_2\), …, \(e_n\), die nicht alle gleichzeitig verschwinden. Dann folgt aus dem Verschwinden der Werte \(E(\varOmega^k z)\) mit großem \(k\) das identische Verschwinden von \(E(z)\). Dem Beweis liegt der Thue-Siegelsche Satz zugrunde, aus dem Folgendes geschlossen wird: Die \(n\) algebraischen Zahlen \(z_1\), \(z_2\), …, \(z_n\) seien vom Absolutbetrag Eins. \(\varrho\geqq 2\) sei ganz. Existiert ein Polynom \[ F\,(x_1,x_2,\dots,x_n)\not\equiv0 \] mit beliebigen komplexen Koeffizienten und eine positive Konstante \(\alpha\), sodaß für großes natürliches \(k\) die Ungleichung \[ F\bigl(z_1^{\varrho^k},z_2^{\varrho^k},\dots, z_n^{\varrho^k}\bigr)=O\bigl(e^{-\alpha\varrho^k}\bigr) \] bestellt, so gibt es \(n\) ganze rationale Zahlen \(e_1\), \(e_2\), …, \(e_n\), die nicht alle gleichzeitig verschwinden, so daß \[ z_1^{e_1}z_1^{e_2}\cdots z_n^{e_n}=1 \] ist.
Es ergibt sich: Die Potenzreihe \[ E(x_1,x_2,\dots,x_n)=\textstyle \sum\limits_{h_1=0}^{\infty } \cdots\sum\limits_{h_n=0}^{\infty } \displaystyle B_{h_1\cdots h_n}x_1^{h_1}\cdots x_n^{h_n} \] konvergiere in der Umgebung des Nullpunktes. Die \(n\) algebraischen Zahlen \(z_1\), \(z_2\), …, \(z_n\) seien von Null verschieden und im Innern des Einheitskreises gelegen. Es gebe \(m\leqq n\) algebraische Zahlen \(\mathfrak z_1\), \(\mathfrak z_2\), …, \(\mathfrak z_m\), zwischen denen keine Gleichung \[ \mathfrak z_1^{e_1}\,\mathfrak z_2^{e_2}\cdots\mathfrak z_m^{e_m}=1 \] besteht, wo die Exponenten ganze rationale Zahlen sind, die nicht gleichzeitig verschwinden; es sei \[ z_l=\mathfrak z_1^{q_{{ 1}l}}\cdots\mathfrak z_m^{q_{ml}} \qquad(l=1,\dots,n), \] und die Matrix (\(q_{\lambda l}\)) (\(\lambda=1\), …, \(m\); \(l=1\), …, \(n\)) habe nur ganze rationale Elemente und den genauen Rang \(m\). \(\varrho\geqq 2\) sei eine feste ganze Zahl. Wenn dann \[ E^\ast\,(\mathfrak x_1,\dots,\mathfrak x_m)\equiv E\,(x_1,\dots,x_n) \] mit \[ x_l=\mathfrak x_1^{q_{{ 1}l}}\cdots\mathfrak x_m^{q_{ml}}\qquad (l=1,\dots,n) \] als Funktion der Veränderlichen \(\mathfrak x_1\), …, \(\mathfrak x_m\) nicht identisch verschwindet, so gibt es eine positive Konstante \(\gamma\) und eine Folge ins Unendliche wachsender natürlicher Zahlen \(k\), sodaß \[ \bigl|\,E\bigl(z_1^{\varrho^k},\dots,z_n^{\varrho^k}\bigr)\,\bigr| \geqq e^{-\gamma\varrho^k} \] ist.
Hieraus folgt ähnlich wie in der oben angeführten Arbeit des Verf. ein Transszendenzsatz, der verschiedene Anwendungen zuläßt.

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