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Arithmetische Eigenschaften einer Klasse transzendental-transzendenter Funktionen. (German) JFM 56.0186.01
Verf. zeigt: “Die Elemente der quadratischen Matrix \[ \varOmega=\bigl(o_{\alpha\beta}\bigr),\;\; \varOmega^k=\bigl(0_{\alpha\beta}^{(k)}\bigr)\qquad (\alpha,\beta=1,2,\dots,n) \] seien nichtnegative ganze rationale Zahlen. Die zugehörige charakteristische Gleichung \[ \varPhi(\varrho)\equiv|\,\varOmega-\varrho E\,|=0,\quad E= \text{Einheitsmatrix}, \] sei im Körper der rationalen Zahlen irreduzibel und besitze eine Wurzel \(\varrho_1\) die größer als 1 und der absolute Betrag der anderen Wurzeln ist. Für großes \(k\) ist dann asymptotisch \[ \varOmega^k\sim\varrho_1^k\varGamma,\;\varGamma= \bigl(c_{\alpha\beta}\bigr)\qquad (\alpha,\beta=1,2,\dots,n), \] wobei die Elemente der Matrix \(\varGamma\) positiv sind. Bedeuten \(z_1\), \(z_2\), …, \(z_n\) komplexe Veränderliche, so sei mit \[ z^{(k)}=\varOmega^k\,z \] die Transformation \[ z_\alpha^{(k)}=\textstyle \prod\limits_{\beta=1}^{n} \displaystyle z_\beta^{o_{\alpha\beta}^{(k)}}\qquad (\alpha=1,2,\dots,n) \] bezeichnet. Weiter seien \(a_1 > 0\), \(a_2 >0\), …, \(a_m >0\) algebraische Zahlen und \(b_1\,(z)\not\equiv0\), …, \(b_m\,(z)\not\equiv0\) \(m\) rationale Funktionen in den \(z_\alpha\) mit algebraischen Koeffizienten, die für \(z_1=\cdots=z_n=0\) verschwinden. Die Potenzreihen \[ f_\mu(z)=\textstyle \sum\limits_{h_1=0}^{\infty }\cdots \sum\limits_{h_n=0}^{\infty } \displaystyle f_{h_1\cdots h_n}^{(\mu)}z_1^{h_1}\cdots z_n^{h_n} \qquad(\mu=1,2,\dots,m) \] sollen den Funktionalgleichungen \[ f_\mu(z)=a_\mu f_\mu(\varOmega z)+b_\mu(z)\qquad (\mu=1,2,\dots,m) \] genügen, und es seien ihre Taylorkoeffizienten gleich algebraischen Zahlen. Ferner bestehe zwischen ihnen keine algebraische Funktionalgleichung \[ F\,(f_1(z),f_2(z),\dots,f_m(z)|z)=0, \] wo das Polynom \(F(w_1, w_2, \dots, w_m | z)\) nicht identisch verschwindet.
Wenn dann die algebraischen Zahlen \(\mathfrak z_1\), \(\mathfrak z_2\), …, \(\mathfrak z_m\) den Ungleichungen \[ \mathfrak z_1\mathfrak z_2\cdots\mathfrak z_m\neq0,\;\;\mathfrak R \biggl(\textstyle \sum\limits_{\beta=1}^{n} \displaystyle c_{1\beta}\,\log\,\mathfrak z_\beta\biggr)<0 \] genügen, wenn ferner die Nenner der rationalen Funktionen \(b_1(z)\), \(b_2(z)\), …, \(b_m(z)\) in keinem der Punkte \(\mathfrak z\), \(\varOmega\mathfrak z\), \(\varOmega^2\mathfrak z\), …gleich Null sind, so sind die Zahlen \(f_1(\mathfrak z)\), …, \(f_m(\mathfrak z)\) algebraisch unabhängig in bezug auf den Körper der algebraischen Zahlen.”
Der Gedankengang der Arbeit ist folgender: Das erste und zweite Kapitel bringt funktionentheoretische Entwicklungen über notwendige und hinreichende Bedingungen für die Unabhängigkeit der Funktionen \(f_\mu(z)\). Dann folgt der eigentliche Beweis des zitierten Satzes, der etwa so verläuft:
\(t_{\alpha_1,\alpha_2\cdots\alpha_m}\) seien endlich viele, etwa \(\mathfrak n\), Parameter. Es sei \[ F\,(z\,|\,t)=\textstyle \sum\limits_{\alpha} \displaystyle t_{\alpha_1\cdots\alpha_m}f_1\,(z)^{\alpha_1}\cdots f_m\,(z)^{\alpha_m} \] ein Polynom in den \(f_\mu\). Dann besteht bei beliebigem ganzem \(k > 0\) die Funktionalgleichung \[ \displaylines{\rlap{\qquad(\(^\ast\))} \hfill \qquad F\,(z\,|\,t)=F\,(\varOmega^k z\,|\,t^{(k)}). \hfill} \] \(\mathfrak u\) sei die Menge der Punkte \(z\) mit \[ z_1z_2\cdots z_n\neq0,\;\;\mathfrak R \biggl(\textstyle \sum\limits_{\beta=1}^{n} \displaystyle c_{1\beta}\,\log\, z_\beta\biggr)<0,\;\; b_\mu^\ast(\varOmega^k z) \neq0 \] für \(\mu=1\), …, \(m\) und \(k = 0\), 1, 2, …, wo \(b_\mu^\ast(z)\) den Nenner von \(b_\mu(z)\) bedeute. \(\mathfrak z\) sei ein fester Punkt in \(\mathfrak u\); \(t_{\alpha_1\cdots\alpha_m}\) sei ein festes System von Zahlen, die nicht alle verschwinden. In (\(^\ast\)) gehen die \(t_{\alpha_1\cdots\alpha_m}^{(k)}\) aus den \(t_{\alpha_1\cdots\alpha_m}\) durch eine lineare homogene Transformation mit von \(k\) und von den \(z_\alpha\) abhängenden Koeffizienten hervor. Mit \(t_{\alpha_1\cdots\alpha_m}^{(k)}\) seien die zu \(k\) und den zu dem festen Punkt \(\mathfrak z\) gehörigen Werten \(\mathfrak z_\alpha\) gehörenden linear Transformierten der \(t_{\alpha_1\cdots\alpha_m}\) bezeichnet.
Verf. führt nun folgenden Äquivalenzbegriff ein: \(A(z | t)\) sei ein beliebiges Polynom. Es sei \[ A\,(z\,|\,t)\sim 0\,(\mathfrak z\,|\,\mathfrak t), \] wenn für alle genügend großen \(k\) \[ A\,\bigl(\varOmega^k\mathfrak z\,|\,\mathfrak t^{(k)}\bigr)=0 \] ist. Sonst sei \[ A\,(z\,|\,t)\nsim0\,(\mathfrak z\,|\,\mathfrak t). \] Vermittelst einiger einfacher Eigenschaften dieses Äquivalenzbegriffs läßt sich dann zeigen: Es seien die Voraussetzungen des eingangs zitierten Satzes erfüllt, so daß ein algebraischer Zahlkörper \(K(s)\) vom Grade \(k\) existiert, in dem die Werte \(\mathfrak z_\alpha\), \(\mathfrak t_{\alpha_1\cdots\alpha_m}\), \(\alpha_\mu\), die Koeffizienten der \(b_\mu(z)\) und die Koeffizienten der \(f_\mu(z)\) liegen. Dann gibt es bei genügend großem ganzem \(p\) \(p+1\) Polynome \(\mathfrak A_h\,(z\,|\,t)\) (\(h = 0\), 1, …, \(p\)) mit folgenden Eigenschaften:
(A) Die \(\mathfrak A_h\) sind in den \(z_\alpha\) und \(t_{\alpha_1\cdots\alpha_m}\) höchstens vom Grad \(p\).
(B) Die Koeffizienten der \(\mathfrak A_h\) liegen in \(K(s)\).
(C) \(\mathfrak A_0\,(z\,|\,t)\nsim 0(\mathfrak z\,|\,\mathfrak t)\).
(D) Die Reihe \[ \textstyle \sum\limits_{h=0}^{p} \mathfrak A_h\,(z\,|\,t)\cdot F\,(z\,|\,t)^h= \sum\limits_{h_1=0}^{\infty }\cdots\sum\limits_{h_n=0}^{\infty } \mathfrak E_{h_1\cdots h_n}(t)\cdot z_1^{h_1}\cdots z_n^{h_n} \] hat als Koeffizienten Polynome in den \(t_{\alpha_1\cdots\alpha_n}\), und für \[ h_1+h_2+\cdots+h_n\leqq 2^{ -3-\tfrac{\mathfrak n}{n}}\cdot p^{1+\tfrac{1}{n}}-1 \] ist \[ \mathfrak E_{h_1\cdots h_n}(t)\sim0\,(\mathfrak z\,|\,\mathfrak t). \] Aus diesen Tatsachen lassen sich zwei Ungleichungen herleiten, aus denen der eingangs zitierte Satz leicht per reductionem ad absurdum folgt. Zum Schluß wird die funktionentheoretische Transzendental-Transzendenz der Reihe \[ \textstyle \sum\limits_{h=1}^{\infty } \displaystyle [h\omega]\,z^h, \] mit einer reellen positiven quadratischen Irrationalität \(\omega\), vermittelst des eingangs zitierten Satzes bewiesen.

MSC:
11J91 Transcendence theory of other special functions
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