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Über die Vorzeichenverteilung in unendlichen Reihen. (German) JFM 56.0200.02

Beweis des folgenden Satzes: Ist \(\sum d_{\nu}\) eine divergente Reihe mit positiven, nach Null strebenden Gliedern, so gibt es eine gleichmäßige Vorzeichenverteilung \(\left\{\varepsilon_{\nu}\right\}\), \(\varepsilon_{\nu}= \pm 1\), für welche die Folge der Partialsummen der Reihe \(\sum \varepsilon_{\nu} d_{\nu}\) beliebig vorgeschriebene (endliche oder unendliche) Hauptlimites besitzt. Dabei heißt eine Vorzeichenverteilung \(\left\{\varepsilon_{\nu}\right\}\) gleichmäßig, wenn positive und negative Vorzeichen in ihr gleich häufig vorkommen, d. h. wenn \[ \lim\limits_{n\to\infty} \frac{1}{n} \sum\limits_{\nu=1}^n \varepsilon_{\nu} = 0 \] ist.
Verf. bemerkt in einer Fußnote, daß er den vorliegenden Satz im Jahre 1923 auf eine Anregung von H. Steinhaus bewiesen und in einer Sitzung des von H. Steinhaus damals gemeinsam mit S. Banach und S. Ruziewicz geleiteten Seminars vorgetragen habe.

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