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Ein Satz über mittlere Konvergenz. (German) JFM 56.0224.02
“Gegeben sei eine unendliche Menge \(\mathfrak M\) von (verschiedenen) Funktionen \(u(x,y)\), die alle im Innern eines Bereiches \(G\) der \((x,y)\)-Ebene stetig und stetig nach \(x\) und \(y\) differenzierbar seien; der Rand von \(G\) bestehe aus endlich vielen geschlossenen Kurven mit stückweise stetiger Tangente und besitze keine Spitzen. Für alle Funktionen von \(\mathfrak M\) mögen die Integrale \[ \iint\limits_{G} u^2\,dx\,dy,\quad \iint\limits_G u_x^2\,dx\,dy,\quad \iint\limits_Gu_y^2\,dx\,dy \] existieren und es möge mit demselben festen \(C\) für alle Funktionen der Menge \[ \iint\limits_G u^2\,dx\,dy < C,\quad \iint\limits_G u_x^2\,dx\,dy < C,\quad \iint\limits_G u_y^2\,dx\,dy < C \] sein. Dann läßt sich aus der vorgelegten Menge eine unendliche Folge \(u_n(x,y)\) (\(n=1,2,\ldots\)) herausgreifen, die im Mittel konvergiert, d. h. für die \[ \lim_{_{\substack{ n\to \infty\\ m\to \infty }}}\iint\limits_G (u_n^2-u_m^2)\,dx\,dy= 0 \] ist.
Den Beweis dieses Satzes kann man mit Hilfe der Vollständigkeitsrelation der trigonometrischen Funktionen erbringen, indem man ihn zunächst für ein beliebiges achsenparalleles Quadrat führt und dann den zugrundegelegten Bereich \(G\) durch einen aus endlich vielen Quadraten bestehenden Bereich approximiert. Im folgenden teile ich jedoch einen Beweis ohne das genannte Hilfsmittel mit, der nur elementare Integralabschätzungen benutzt.”

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