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Einige charakteristische Eigenschaften von meßbaren Mengen und Funktionen. (German) JFM 56.0228.02
Zunächst werden einige Sätze über im allgemeinen nicht meßbare Mengen und Funktionen aufgestellt. Es sei \(f(x)\) eine Funktion, die nur positive Werte hat und auf einer Menge \(E\) von endlichem äußeren Maße definiert ist. Ist \(J\) irgendein lineares Intervall und \(E\cdot J\) der Durchschnitt von \(E\) und \(J\), so existiert das obere Lebesguesche Integral \[ \int\limits_{(E\cdot J)}^-f(x)\,dx. \] Diese Intervallfunktion wird als das unbestimmte obere Integral von \(f(x)\) bezeichnet. Die obere rechte Ableitung \(D^+\) dieses Integrals im Punkte \(x\) wird definiert durch \[ \limsup_{m(J)=0}\frac{\int\limits_{(E\cdot J)}^-f(x)\,dx}{m(J)}, \] wobei \(J\) ein Intervall ist, das den Punkt \(x\) zum linken Endpunkt hat. Analog ergeben sich die drei übrigen Ableitungen \(D_+\), \(D^-\), \(D_-\) im Punkte \(x\). Ist \[ D^+ = D_+ = D^- = D_- = A, \] so ist \(A\) die Ableitung im Punkte \(x\). Im Anschluß an diese Betrachtungen folgt eine Reihe interessanter Sätze. Das unbestimmte obere Integral einer bestimmt positiven Funktion \(f(x)\), definiert auf einer Menge \(E\) von endlichem äußeren Maße, besitzt eine von Null verschiedene, endliche Ableitung in den Punkten einer meßbaren Menge, deren Maß gleich \(m_a(E)\) ist. In den übrigen Punkten der \(x\)-Achse, mit Ausnahme einer Menge vom Maße Null, hat es eine Ableitung gleich Null. Ferner: Eine Menge \(E\) von endlichem äußeren Maße besitzt eine äußere Dichte \(= 1\) auf einer meßbaren Menge, deren Maß \(= m_a(E)\) ist. In allen weiteren Punkten der \(x\)-Achse, mit Ausnahme einer Menge vom Maße Null, existiert eine äußere Dichte \(=0\). Dabei versteht man unter der äußeren Dichte von \(E\) im Punkte \(x\) den Grenzwert \(\lim \dfrac{\overline{m}(E\cdot J)}{m(J)}\), wobei \(J\) ein den Punkt \(x\) enthaltendes Intervall darstellt. Ähnliche Sätze ergeben sich für das unbestimmte untere Integral, wobei der Begriff für innere Dichte definiert wird. Aus diesen Sätzen folgen unmittelbar wichtige Kriterien für die Meßbarkeit einer linearen Punktmenge \(E\). Weiter ergeben sich Sätze über die Meßbarkeit einer Funktion \(f(x)\), die auf einer linearen Menge \(E\) definiert ist. Durch Einführung neuer Begriffe wie “etwas halbstetig nach oben” und “annähernd stetig” sind die Kriterien weitergehend als für die Meßbarkeit von linearen Punktmengen.
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References:
[1] Siehe z. B. Carathéodory, Vorles. über reelle Funktionen, § 244, Satz 3, oder Schlesinger und Plessner, Lebesguesche Integrale, S. 50.
[2] Siehe z. B. Carathéodory, Reelle Funktionen, § 244, Satz 2, oder Schlesinger und Plessner, Lebesguesche Integrale, S. 50.
[3] Ein Ordinatenstück, das mehreren Quadraten angehört, wird nur einmal gezählt.
[4] Siehe z. B. Carathéodory, Reelle Funktionen, § 446, Satz 3.
[5] W. Sierpi?ski bewies den Satz: Ausgenommen in den Punkten einer Nullmenge besitzt eine MengeE in jedem ihrer Punkte eine äußere Dichte =1 (siehe Fund. Mat.4 (1923), S. 125). Die Betrachtungen von § 1 führen zu einem analogen Resultate:Das unbestimmte obere Integral einer bestimmt positiven Funktion f (x), definiert auf einer Menge E von endlichem äußeren Maße, besitzt eine Ableitung ? f(x) in allen Punkten von E, mit Ausnahme einer Nullmenge.
[6] Die Betrachtungen von §§ 4 und 3 liefern auch: ?)Ausgenommen in den Punkten einer Nullmenge besitzt eine Menge E in jedem ihrer Punkte eine innere Dichte =0oder 1; ?)das untere Integral einer bestimmt positiven Funktion f (x), definiert auf einer Menge E von endlichem äußeren Maße, besitzt eine Ableitung ?f (x) in allen Punkten von E, mit Ausnahme einer Nullmenge.
[7] Für die Meßbarkeit vonE genügt es also anzunehmen, daß diese Teilmenge das Maß Null hat. Dies wurde schon von E. Kamke [und S. Saks] bewiesen; vgl. Fund. Mat.10 (1927), S. 433.
[8] Das impliziert auch die Meßbarkeit vonE.
[9] Siehe z. B. Carathéodory, R. F., § 485, Satz 1 und 2.
[10] Ein ähnliches Resultat gab W. Stepanoff, siehe Rec. Soc. Math. de Moscou31 (1922-24), S. 487-489. Er fordert etwas mehr, indem (loc. cit.) die approximative Stetigkeit mittels derunteren inneren Dichte definiert wird.
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