Über einseitige Lokalisation. (German) JFM 56.0245.01

Zygmund, A.

Jahresbericht D. M. V. 39, 47-52 (1930).

Wie Riemann gezeigt hat, hängt die Konvergenz der trigonometrischen Reihe \[ \tfrac12 a_0 + \sum_{n=1}^\infty (a_n \cos nx + b_n \sin nx) \tag{\text{*}} \] mit gegen Null konvergierenden Koeffizienten an einer Stelle \(x_0\) nur von dem Verhalten dieser Reihe in einer beliebig kleinen Umgebung \[ x_0 - \varepsilon \leqq x<x_0,\quad x_0 < x \leqq x_0+\varepsilon \] von \(x_0\) ab. Die Frage, unter welchen Bedingungen für die Koeffizienten die Konvergenz der Reihe (*) an der Stelle \(x_0\) nur von dem Verhalten in einer hinreichend kleinen einseitigen Umgebung von \(x_0\) abhängt, hat Rogosinski behandelt (Schriften Königsberg 3 (1926), Nr. 3, S. 57-98; F. d. M. 52). Zu derselben Frage liefert Verf. hier einen Beitrag, indem er – und zwar mit Hilfe der formalen Multiplikation trigonometrischer Reihen – den folgenden Satz beweist:
Wenn die trigonometrische Reihe (*) Koeffizienten von der Größenordnung \(o\left(\dfrac1n\right)\) besitzt, und wenn sie in einem Intervall \(x_0 < x \leqq x_0 + \varepsilon\) gegen Null konvergiert, dann konvergiert sie auch an der Stelle \(x_0\) selbst gegen Null. Ersetzt man in der Voraussetzung \(o\) durch \(O\), so besitzt die Reihe (*) an der Stelle \(x_0\) beschränkte Partialsummen.

Reviewer: Feigl, G., Prof. (Breslau)

JFM Section:

Erster Halbband. Vierter Abschnitt. Analysis. Kapitel 3. Allgemeine Theorie der reellen Funktionen. D. Trigonometrische Reihen und Verwandtes.