A note on series of sines. (English) JFM 56.0245.02

Zygmund, A.

Quarterly Journ. (Oxford series) 1, 102-107 (1930).

Verf. behandelt die Frage nach hinreichenden Bedingungen dafür, daß die Sinusreihe \[ \sum b_n \sin nx \tag{\text{*}} \] auf \(\langle0,\pi\rangle\) Fouriersche Sinusreihe einer Funktion \(f (x)\) sei. Er beweist darüber den folgenden Satz und einige verwandte Sätze: Wenn die Reihe (*) in \(\langle 0,\pi\rangle\) konvergiert mit Ausnahme einer höchstens abzählbaren Menge \(E\), und wenn mit einer auf \(\langle0, \pi\rangle\) integrierbaren Funktion \(\varphi (x)\) \[ f(x)\geqq\frac{\varphi(x)}{\sin x} \] überall auf \(\langle0, \pi\rangle\) mit Ausnahme höchstens von \(E\) gilt, dann ist \(f(x) \sin x\) auf \(\langle0, \pi\rangle\) integrierbar, und (*) ist die Fouriersche Sinusreihe von \(f(x)\).

Reviewer: Feigl, G., Prof. (Breslau)

JFM Section:

Erster Halbband. Vierter Abschnitt. Analysis. Kapitel 3. Allgemeine Theorie der reellen Funktionen. D. Trigonometrische Reihen und Verwandtes.