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Sur les séries trigonométriques lacunaires. (French) JFM 56.0251.03

Eine trigonometrische Reihe: \[ \frac{a_0}{2} + \sum_{\varkappa=0}^\infty (a_\varkappa \cos n_\varkappa \vartheta + b_\varkappa \sin\;n_\varkappa \vartheta) \tag{1} \] heißt lakunär, wenn die Folge der natürlichen Zahlen \(\{ n_\varkappa\}\) der Ungleichung \[ \frac{n_{\varkappa + 1}}{n_\varkappa} > q > 1 \quad (\varkappa=1,2,\dots) \] genügt. Für solche Reihen hat S. Sidon (1927; F. d. M. 53, 252 (JFM 53.0252.*)) bewiesen, daß die Reihe (1) absolut konvergiert, wenn sie die Fourierreihe einer beschränkten Funktion ist.
In dieser Note beweist der Verf. den folgenden Satz: Stellt die Reihe (1) die Fourierreihe einer integrierbaren Funktion dar, so ist diese Funktion mit jeder positiven Potenz integrierbar.

Citations:

JFM 53.0252.*
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