On the convergence of lacunary trigonometric series. (English) JFM 56.0252.01

Zygmund, A.

Fundamenta 16, 90-107 (1930).

Unter einer trigonometrischen Lückenreihe wird eine Reihe der Form \[ \sum_k (a_k \cos n_k \vartheta + b_k \sin n_k \vartheta) \tag{1} \] verstanden, falls \(n_1 < n_2 < \dots\) natürliche Zahlen sind, für die \[ \frac{n_{k+1}}{n_k} > q > 1 \] bleibt. Es ergibt sich leicht: Wenn (1) eine Fourier-Lebesguesche, (kurz FL-) Reihe ist, speziell also wenn \[ \sum_k (a_k^2 + b_k^2) \tag{2} \] konvergiert, so konvergiert (1) fast überall. Darüber hinaus hatte Verf. (vgl. die vorstehende Besprechung) bewiesen:
A. Wenn (1) eine FL-Reihe ist, so ist (2) konvergent. Jetzt beweist Verf. den folgenden Satz, von dem A eine leichte Folge ist:
B. Wenn (1) in einer Punktmenge positiven Maßes konvergiert, so konvergiert (2). [(1) ist also dann und nur dann fast überall konvergent, wenn (2) konvergiert.]
Im Anschluß hieran werden noch die folgenden Sätze bewiesen:
C. Wenn (1) die Fourierreihe einer stetigen Funktion \(F\) ist, die auf einer Menge positiven Maßes eine endliche Ableitung besitzt, so ist \(F\) ein unbestimmtes Integral einer Funktion \(f\) der Klasse \(L^2\) [oder: so ist \(\sum n_k^2 (a_k^2 + b_k^2)\) konvergent].
D. Wenn (1) auf einer Punktmenge positiven Maßes durch lineare Mittelbildungen summierbar ist, so ist (2) konvergent. (Dabei kann von den drei Toeplitzschen Bedingungen der Mittelbildung die Beschränktheit der Zeilennormen fortgelassen werden.)
Daß es endlich keine Reihe der Form (1) mit \(a_k \to 0\), \(b_k \to 0\) geben kann, die überall divergiert, lehrt der Satz
E. Zu jeder Reihe der Form (1) mit \(a_k \to 0\), \(b_k \to 0\) läßt sich eine überall dichte (und überall kontinuumhafte) Punktmenge angeben, auf der (1) konvergiert.

Reviewer: Knopp, K., Prof. (Tübingen)

JFM Section:

Erster Halbband. Vierter Abschnitt. Analysis. Kapitel 3. Allgemeine Theorie der reellen Funktionen. D. Trigonometrische Reihen und Verwandtes.